二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、二次函數(shù)概念:
1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yaxbxc(a,b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。注意:和一元二次方程類(lèi)似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù).2.二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征:
⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.⑵a,b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式
1.二次函數(shù)基本形式:yax的性質(zhì):a的絕對(duì)值越大,拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
222a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)0,00,0y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值0.x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.a(chǎn)02.
向下y軸yax2k的性質(zhì):上加下減。
開(kāi)口方向向上向下2a的符號(hào)a0a0頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,k)(0,k)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)y軸y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值k.x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值k.3.yaxh的性質(zhì):左加右減。
a的符號(hào)a0a0開(kāi)口方向向上向下2頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=hX=h性質(zhì)h,0h,0xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減。粁h時(shí),y有最小值0.xh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.4.yaxhk的性質(zhì):
a的符號(hào)a0a0開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=hX=h性質(zhì)h,kh,kxh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減。粁h時(shí),y有最小值k.xh時(shí),y隨x的增大而減。粁h時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值k.三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:k;方法一:⑴將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k處,具體平移方法如下:⑵保持拋物線(xiàn)yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(hxb時(shí),y隨x的增大而減。2ab時(shí),y隨x的增大而增大;2aa0向下b4acb2b,x4a2a2ax4acb2b.x時(shí),y有最大值4a2a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式:yaxbxc(a,b,c為常數(shù),a0);已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、
22y的值,通常選擇一般式.
2.頂點(diǎn)式:ya(xh)k(a,h,k為常數(shù),a0);已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸,通常選擇頂點(diǎn)式.
3.交點(diǎn)式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式
注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式,只
有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn),即b4ac0時(shí),拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析
式的這三種形式可以互化.
八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a
二次函數(shù)yaxbxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.
22拋物線(xiàn)開(kāi)口向上。
(2)a0拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。
(1)a0(3)a的大小決定開(kāi)口的大。產(chǎn)越大,開(kāi)口越;a越小,開(kāi)口越大.2.b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.“左同右異”由于拋物線(xiàn)
yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xb,2a故:(1)b0對(duì)稱(chēng)軸為y軸;
b0對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè);ab(3)a、b異號(hào),即0對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).
a(2)a、b同號(hào),即3.c的大小決定拋物線(xiàn)當(dāng)xyax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.
:0時(shí),yc,∴拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c)
(1)c0拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn);0與y軸交于正半軸;0與y軸交于負(fù)半軸.
(2)c(3)c九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有四種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
yaxbxc關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;
22yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk;
2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
yaxbxc關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;
2222yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk;
3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk;4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(即:拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°)
222222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;
2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk.
根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換,拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)(或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn))的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程:
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):
一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):
22220,Bx2,0(x1x2),(1)當(dāng)b4ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1,其中的x1,x22是一元二次方程axbxc0a0的兩根.
2(2)當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(即頂點(diǎn));
(3)當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
①當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的上方,無(wú)論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;
②當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的下方,無(wú)論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.
十一、函數(shù)的應(yīng)用
剎車(chē)距離1、二次函數(shù)應(yīng)用的類(lèi)型何時(shí)獲得最大利潤(rùn)
最大面積是多少2、運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值的一般步驟:(1)恰當(dāng)選設(shè)自變量和因變量(2)求出函數(shù)解析式
(3)配方變形為頂點(diǎn)式或用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求它的最大值或最小值
(4)檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi)十二、二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):
⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;
⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式或用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式;⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a,b,c的符號(hào),或由二次函數(shù)中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;
⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).
⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù);下面以a0時(shí)為例,揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:
220拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.吳承恩是不會(huì)把一個(gè)人的性格特點(diǎn)寫(xiě)在表面上。每次唐僧趕送悟空走,都有豬八戒在旁煽風(fēng)點(diǎn)火。黃袍怪那一回,唐僧趕走了孫悟空,豬八戒反又去請(qǐng)他出山,把孫悟空騙了回來(lái)。這隨機(jī)應(yīng)變的能力有多強(qiáng)。人人都說(shuō)孫悟空聰明,那怎么會(huì)被豬八戒的幾句話(huà)玩弄掌故之間。
豬八戒總說(shuō)分行李散伙,可是這回他為什么去找孫悟空回來(lái),如果他不去找豈不是稱(chēng)了他的心意,分分行李回高老莊了嗎,說(shuō)明他還是知道得正果的好處。
孫悟空遇到困難就回去找觀(guān)音菩薩,豬八戒為什么不去找呢,很顯然豬八戒知道孫悟空是少不得的。當(dāng)初煽風(fēng)點(diǎn)火趕他走,也只是幸災(zāi)樂(lè)禍的表現(xiàn)。如果說(shuō)少了孫悟空,各項(xiàng)工作都會(huì)轉(zhuǎn)嫁到豬八戒頭上,比如開(kāi)路,要抓妖怪。三個(gè)人的武功差不多,抓妖豬八戒確實(shí)不如孫悟空。原著說(shuō):“當(dāng)年行者在日,老和尚要的就有,今日輪到我的身上,誠(chéng)所謂當(dāng)家才知柴米價(jià)!必i八戒何嘗不想趕孫悟空走,孫悟空走了他就是大師兄,西天取經(jīng)的功臣,但豬八戒知道技不如孫悟空,只得退而求其次,這就是聰明人的表現(xiàn),而不是一味的逞強(qiáng)。原著第44回,他們?nèi)ト逵^(guān)偷貢品。元始天尊、靈寶天尊、道德天尊,道教最高的神明。豬八戒爬上高臺(tái),將原像都推倒,扔進(jìn)茅坑。豬八戒和沙和尚并不一樣,他不想回天庭,他找到了更好的靠山,就是佛派,他才敢侮辱幾個(gè)天尊神像,告訴你們“我要和道教劃清界限!币环矫嬲f(shuō)明當(dāng)初天庭道教禍害他,他恨之入骨,另一方面他也知道哪邊的靠山靠著更加舒服。佛教的人看到了一定很開(kāi)心,“呦,這個(gè)小子不錯(cuò),有前途!
總的來(lái)說(shuō)豬八戒不是什么豬頭豬腦的人,相反,很聰明,顯然他非常非常聰明,顯然他聰明的也十分可愛(ài)。西游記里充滿(mǎn)了黑暗,那些道貌岸然的所謂好人,真的是好人嗎。
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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一、二次函數(shù)概念:
一切為了孩子美好的未來(lái)
b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yaxbxc(a,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).元二次方程類(lèi)似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,2.二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征:
⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.
22b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).⑵a,二、二次函數(shù)的基本形式
1.二次函數(shù)基本形式:yax的性質(zhì):a的絕對(duì)值越大,拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)
00,00,y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減小;x0時(shí),y有最小值0.a(chǎn)0向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.2.yaxc的性質(zhì):上加下減。
2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)
c0,c0,y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減小;x0時(shí),y有最小值c.a(chǎn)0向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.3.yaxh的性質(zhì):
左加右減。4.
2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=h性質(zhì)0h,0h,xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y有最小值0.a(chǎn)0向下X=hxh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.yaxhk的性質(zhì):
2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=h性質(zhì)h,kxh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y有最小值k.廈門(mén)分校
三、二次函平移1.平移一切為了孩子美好的未來(lái)
X=ha0向下h,kxh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),數(shù)圖象的步驟:y有最大值k.方法一:⑴將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;⑵保持拋物線(xiàn)yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,k處,具體平移方法如下:
22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k廈門(mén)分校
一切為了孩子美好的未來(lái)
bbb4acb2當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x時(shí),y有最小值.
2a2a2a4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng),.當(dāng)x2a4a2a2abb4acb2.x時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x時(shí),y有最大值
2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法
21.一般式:yaxbxc(a,b,c為常數(shù),a0);22.頂點(diǎn)式:ya(xh)k(a,h,k為常數(shù),a0);
3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).
注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式,只有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn),即
b24ac0時(shí),拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a
二次函數(shù)yaxbxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.
⑴當(dāng)a0時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,a的值越大,開(kāi)口越小,反之a(chǎn)的值越小,開(kāi)口越大;⑵當(dāng)a0時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,a的值越小,開(kāi)口越小,反之a(chǎn)的值越大,開(kāi)口越大.
總結(jié)起來(lái),a決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向,a的正負(fù)決定開(kāi)口方向,a的大小決定開(kāi)口的大。2.一次項(xiàng)系數(shù)b
在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.⑴在a0的前提下,
當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),2b0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè);2ab0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸;2ab0,即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè).2ab0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè);2ab0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸;2ab0,即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè).2a⑵在a0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),總結(jié)起來(lái),在a確定的前提下,b決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.
ab的符號(hào)的判定:對(duì)稱(chēng)軸x總結(jié):3.常數(shù)項(xiàng)c
b在y軸左邊則ab0,在y軸的右側(cè)則ab0,概括的說(shuō)就是“左同右異”2ay軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;
⑵當(dāng)c0時(shí),拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時(shí),拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái),c決定了拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置.
⑴當(dāng)c0時(shí),拋物線(xiàn)與
b,c都確定,那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的.總之,只要a,二次函數(shù)解析式的確定:
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问剑?/p>
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才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō),有如下幾種情況:
1.已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式;
2.已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大(小)值,一般選用頂點(diǎn)式;3.已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式.
九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
yaxbxc關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;
22一切為了孩子美好的未來(lái)
yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk;
2.關(guān)于
22y軸對(duì)稱(chēng)
2yaxbxc關(guān)于
2y軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yax2bxc;
2yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk;
3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk;4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(即:拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°)
2222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxbxc;
2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxhk.
n對(duì)稱(chēng)5.關(guān)于點(diǎn)m,22n對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m,根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換,拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)(或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn))的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式.
十、二次函數(shù)與一元二次方程:
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):
2一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.
222圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):
0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程①當(dāng)b4ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1,2b24ac.axbxc0a0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1a2②當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);③當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
廈門(mén)分校
1"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的上方,無(wú)論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;
一切為了孩子美好的未來(lái)
2"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的下方,無(wú)論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.
2.拋物線(xiàn)yaxbxc的圖象與3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):
⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;
⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;
⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a,b,c的符號(hào),或由二次函數(shù)中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;
⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).
2⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù);下面以a0時(shí)為例,揭示
22y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);
二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:
圖像參考:
y=2x2y=x20拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2
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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切為了孩子美好的未來(lái)
y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2
十一、函數(shù)的應(yīng)用
y=2x2y=2(x-4)2剎車(chē)距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)
最大面積是多少
二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型
1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì),有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中,如:已知以x為自變量的二次函數(shù)值是
2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像,習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直
則m的y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn),
y=2(x-4)2-3角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像,試題類(lèi)型為選擇題,如:
如圖,如果函數(shù)
ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是()
yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類(lèi)型有中檔解答題和選拔性的綜合題,如:已知一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(0,3),(4,6)兩點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x5,求這條拋物線(xiàn)的解析式。34.考查用配方法求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、二次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題,如:32已知拋物線(xiàn)yaxbxc(a≠0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-2
(1)確定拋物線(xiàn)的解析式;(2)用配方法確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力,常見(jiàn)的作為專(zhuān)項(xiàng)壓軸題!纠}經(jīng)典】
由拋物線(xiàn)的位置確定系數(shù)的符號(hào)
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例1(1)二次函數(shù)yaxbxc的圖像如圖1,則點(diǎn)M(b,2一切為了孩子美好的未來(lái)
c)在()aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
(2)已知二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號(hào);②當(dāng)x=1和x=3時(shí),函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時(shí),x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2(1)(2)
【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線(xiàn)的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,O)、(x1,0),且1廈門(mén)分校
∴直線(xiàn)A,C解析式為y=6x-6直線(xiàn)A"C與拋物線(xiàn)交點(diǎn)為(0,-6),(5,24).∴符合題意的x的范圍為-1廈門(mén)分校一切為了孩子美好的未來(lái)
(2)要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元?【解析】(1)設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則15kb25,解得k=-1,b=40,即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40.
2kb202
(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為x元,所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225.
產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為25元,此時(shí)每日獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為225元.
【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似,也有區(qū)別,主要有兩點(diǎn):(1)設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí),什么最大(或最小、最。钡脑O(shè)問(wèn)中,“某某”要設(shè)為自變量,“什么”要設(shè)為函數(shù);(2)問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.例3.你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí),繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線(xiàn).如圖所示,正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()
A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m分析:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案:B
2友情提示:本文中關(guān)于《二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
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