201*江蘇高二數(shù)學增效減負學案：2(必修3)

數(shù)學歸納法（1）

常州市第一中學高二數(shù)學備課組

【教學目標】

知識與技能：理解數(shù)學歸納法的概念，掌握數(shù)學歸納法的步驟；

過程與方法：經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學歸納法的兩個步驟，

初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力；情感態(tài)度價值觀：通過數(shù)學歸納法的學習初步形成嚴謹務實的科學態(tài)度和嚴謹?shù)?/p>

數(shù)學思維品質(zhì)與數(shù)學理性精神。

【教學重點】理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)意義，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟。【教學難點】運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推

關系。

【教后反思】【教學過程】一．創(chuàng)設情景1.摸球?qū)嶒?/p>

已知盒子里面有5個兵乓球，如何證明盒子里面的球全是橙色？

2.今天，據(jù)觀察第一個到學校的是男同學，第二個到學校的也是男同學，第三個到學校的還是男同學，于是得出：這所學校里的學生都是男同學。

象這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的方法，我們把它叫做歸納法。（1）是完全歸納法，結(jié)論正確（2）是不完全歸納法，結(jié)論不一定正確。問題：這些問題都與自然數(shù)有關，自然數(shù)有無限多個，我們無法對其一一驗證，那么如何證明一個與自然數(shù)有關的命題呢？例如對于數(shù)列an,已知

a11,an11an,通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為an。

n1an這個猜想是否正確，如何證明？數(shù)學中常用數(shù)學歸納法證明。

二．探索新知

1、了解多米諾骨牌游戲，可得，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：

（1）第一塊骨牌倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。思考：條件（1）（2）的作用是什么？2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學問題。

思考：你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？分析：1多米諾骨牌游戲原理通項公式an的證明方法n（1）第一塊骨牌倒下。（1）當n=1時a11，猜想成立

1（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1（2）若當n=k時猜想成立，即ak，塊也倒下。k1則當n=k+1時猜想也成立，即ak11k1。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)骨牌，都能全部倒下。n，猜想都成立。3、數(shù)學歸納法的原理一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0時命題成立（n0為n取的第一個值）；

（2）（歸納遞推）假設nk(kn0,kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立。

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學歸納法。注：（1）這兩步步驟缺一不可；

（2）用數(shù)學歸納法證明命題時第二步必須用到歸納假設；（3）數(shù)學歸納法只適用于和正整數(shù)有關的命題。三．例題講解

例一、已知數(shù)列an,a11,an11an，用數(shù)學歸納法證明其通項公式為an。

n1an【教學預設】【教學過程】

【學生活動】

例二、用數(shù)學歸納法證明：等差數(shù)列{an}中，a1為首項，d為公差，則通項公式為ana1(n1)d。

【教學預設】【教學過程】【學生活動】

例三、用數(shù)學歸納法證明：1427310n(3n1)n(n1)2�！窘虒W預設】【教學過程】【學生活動】四．課堂小結(jié)

【課后練習】

一．選擇

1．用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()

An=1Bn=2Cn=3Dn=4

11112．用數(shù)學歸納法證明某命題時，左邊為n從k變到k＋1時，左邊應

23421增添的代數(shù)式是（）

111A．k1B．k＋k1

21212111111C．k＋k＋k1D．k＋k＋……＋k1

2121212122n(2n21)3．用數(shù)學歸納法證明12(n1)n(n1)2132222222時，由nk的假設到證明nk1時，等式左邊應添加的式子是（）

A．(k1)2k

22222B．(k1)kC．(k1)D．(k1)[2(k1)1]

1324．某個命題與正整數(shù)n有關，如果當nk(kN)時命題成立，那么可推得當nk1時命題也成立．現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得（）A．當n=6時該命題不成立B．當n=6時該命題成立C．當n=4時該命題不成立D．當n=4時該命題成立5．從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階，每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺階共有f(n)種走法，則下面的猜想正確的是（）

A．f(n)f(n1)f(n2)(n3)B．f(n)2f(n1)C．f(n)2f(n1)1(n2)

(n3)

(n2)D．f(n)f(n1)f(n2)二．用數(shù)學歸納法證明等比數(shù)列通項公式與前n項和公式。三．用數(shù)學歸納法證明下列等式（nN）。（1）135(2n1)n（2）122334n(n1)（3）(1x)(1xxx（4）123n33332222*21n(n1)(n2)32n1)1xn

n(n1)(2n1)

62（5）123n(123n)

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課題：幾何概型

常州市第一中學高二數(shù)學備課組

教材：蘇教版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修三 3.3.1

1.教學目標

（1）知識與技能：了解幾何概型的基本特點，會識別幾何概型，并能進行簡單的幾何概率計算．

（2）過程與方法：讓學生通過具體的實例親歷幾何概型概念的建構(gòu)過程，體驗類比轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法；通過實際問題的解決，提高學生的建模意識及分析問題、解決問題的能力．

（3）情感、態(tài)度與價值觀：創(chuàng)設生活情境，引導學生積極思考、合作探究，感受幾何概型在現(xiàn)實生活中的作用，在解決問題的過程中增強學生的規(guī)范意識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和合作能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識.過程中滲透數(shù)學史的介紹，使學生感悟數(shù)學的文化價值，提高學生對數(shù)學的學習興趣．2.教學重點、難點

教學重點：幾何概型的概念和概率計算公式，幾何概型的簡單應用．

教學難點：建立合理的模型把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，準確確定幾何區(qū)域D和與事件A對應的區(qū)域d，并求出它們的測度．3.教學方法和教學手段

設置問題情境，讓學生由古典概型的概念延伸到幾何概型的概念，體會二者的區(qū)別和聯(lián)系，過程中通過設置問題串讓學生深入思考幾何概型的特點，進而發(fā)現(xiàn)幾何概型中概率的計算公式，并且在此過程中增強學生的合作能力和表達能力．

借助多媒體讓學生在三個例題的解決過程中體會概率的簡單應用，學會在生活中發(fā)現(xiàn)、研究并解決數(shù)學問題，在回顧反思的環(huán)節(jié)中提高學生的數(shù)學表達能力和交流能力．4.教學過程

（一）創(chuàng)設情境、引入新課

問題1：在3米長的繩子上有四個點P,Q,R,S，將繩子五等分，從這四個點中任意一點處將繩子剪斷，如果剪得兩段長都不小于1米，那灰太狼就可以不去，那么他不去的概率是多少？．

容易求得概率為，并借此問題復習古典概型的特點和概率計算公式。問題2：紅外保護線長3米，只有在和兩端距離均不小于1米的點接觸紅外線才不會報警，灰太狼能夠安全進羊村的概率是多少？

本問題用和問題1類似的背景提出問題，意在凸顯古典概型和幾何概型的異同。學生可由直觀感受得出概率應為線段長度之比，這時教師再追問是否古典概型，引導學生產(chǎn)生疑問，進而注意到本問題中的基本事件對應于線段上的點，有無數(shù)種情形，且等可能發(fā)生，并非古典概型，進而將古典概型中基本事件的個數(shù)

12

轉(zhuǎn)化成基本事件構(gòu)成線段的長度，求出概率

線段PQ長度A的基本事件構(gòu)成區(qū)域的長度1P(A)==

線段MN長度所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的長度3問題3：羊村是個面積為10000平方米的矩形，灰太狼在羊村內(nèi)炸出的圓有100平方米，假設喜羊羊在羊村的每一點都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？

由問題2的解決學生可以類比解決問題3，得出基本事件也對應于點，這時應用平面圖形的面積來刻畫基本事件的數(shù)量，求出概率

圓的面積A的基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積1P(A)==

羊村面積所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積100

（二）歸納總結(jié)、意義建構(gòu)

思考：問題2和3均非古典概型，有什么共同點？

學生通過剛才的分析可以答出基本事件的無限性和等可能性．進一步再思考：基本事件分別是什么？它們有什么共同點？進而可以總結(jié)：

基本事件：從區(qū)域D內(nèi)任取一點，且取到每一點都是等可能的，隨機事件A的基本事件：從區(qū)域d（d含在D內(nèi)）內(nèi)任取一點，思考：事件A的概率該如何求解？

11在問題2中，P(A)為線段的長度之比，問題3中P(A)為面積之比，

3100而線段的長度，平面圖形的面積均為對幾何區(qū)域大小的一種度量方式，這種度量我們用統(tǒng)一的名字來表示：測度．

由此引入幾何概型的定義：事件A發(fā)生的概率與d的測度成正比，我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．

從定義可以總結(jié)出幾何概型的特點是：等可能性，無限性．事件A發(fā)生的概率為P(A)d的測度，其中測度：長度，面積，體積等，主要取決于幾何區(qū)域D

D的測度和d，并且和區(qū)域d的形狀和位置沒有關系．

（三）鞏固新知、簡單應用

1.在區(qū)間[0，9]上任取一個實數(shù)，恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為多少？分析：我們可以把實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應起來，由此可以把區(qū)間[0，9]轉(zhuǎn)化為一條長為9的線段．

解：記“恰好取在區(qū)間[0，3]上”為事件A，

在區(qū)間[0，9]上任取一個實數(shù)為一個基本事件，有無數(shù)種可能，并且都是等可能發(fā)生的．

區(qū)域D：區(qū)間[0，9]對應的線段區(qū)域d：區(qū)間[0，3]對應的線段，故

P(A)d的測度31．

D的測度93

1答：恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為．

3問題背景本身并非幾何問題，需要將數(shù)轉(zhuǎn)化成點，區(qū)間轉(zhuǎn)化成線段，原問題轉(zhuǎn)化成一個幾何問題。

思考：這是一個幾何概型問題，怎樣改變題目的條件，使之變成一個古典概型問題呢？題目答案并不唯一，可以改成整數(shù)，偶數(shù)，0.1的整數(shù)倍等．由此可以總結(jié)解決概率問題的一般步驟：S1確定基本事件；S2判斷是哪種概型；S3代入公式求解概率．

如果是應用題，那么最前面要加上一步“記事件”，最后面要加上一步“作答”．

2.在邊長為2的正方形中隨機撒一粒豆子，豆子落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的概率是多少？分析：在正方形內(nèi)隨機丟一粒豆子可以看成是在正方形內(nèi)隨機取一點，為一個基本事件，有無數(shù)種情況，且均等可能發(fā)生，為幾何概型．解：記“豆子落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)”為事件A，

在正方形內(nèi)隨機取一點為一個基本事件，有無數(shù)種可能，并且都等可能發(fā)生．區(qū)域D：正方形區(qū)域d：內(nèi)切圓

故P(A)內(nèi)切圓面積．

正方形面積4．4如果我們向正方形內(nèi)隨機撒n顆豆子，統(tǒng)計落在內(nèi)切圓內(nèi)的豆子數(shù)為m，那

m么事件A發(fā)生的頻率為，由概率的統(tǒng)計定義可知，當重復試驗的次數(shù)n很大

nmm時，有P(A)，那么根據(jù)我們這里算出的結(jié)果，就有，將此式變形，

n4n4m有，這個式子有怎樣的實際意義呢？我們可以通過大量重復試驗，統(tǒng)計n

n4m和m的值，由來估計圓周率的值．

n在我們所學過的概率的統(tǒng)計定義中，我們用大量重復試驗下事件發(fā)生的頻率估計概率，而這里正是運用了頻率和概率的關系，借助計算機模擬進行圓周率的估算，研究圓周率的方法歷史上其實有很多，1777年法國的科學家布豐就做了投針試驗來估計圓周率，他和我們這里求圓周率的思想一樣，都是用大量重復試驗中概率和頻率的關系來估算圓周率，這個試驗被稱為幾何概型的第一次試驗。

3.一個20立方米的海洋球池里混入了一顆水晶球，現(xiàn)從中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？

分析:由于球池中球數(shù)很多，故可以將球看成一個點，轉(zhuǎn)化成幾何概型問題。答：豆子落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的概率為

解：記“取出的球中含有這個水晶球”為事件A,水晶球在球池中的分布可以看成是隨機的，故

0.5P(A)=0.025.

20答：取出的球中含有這個水晶球的概率為0.025.總結(jié)：這三個問題都是幾何概型問題，測度分別為線段的長度，平面圖形的面積，立體圖形的體積．如果題目所給條件并非幾何問題，要學會轉(zhuǎn)化．

（四）牛刀小試、查漏補缺

11.在△ABC內(nèi)任取一點P，則△ABP與△ABC的面積比大于0.5的概率是多少？

43.已知地鐵站每隔10分鐘有一班列車到達，每輛列車在車站停1分鐘,則乘客到

特點公式古典概型有限性等可能性P(A)mn幾何概型無限性等可能性P(A)d的測度D的測度1103.在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？0.01

（五）回顧反思、總結(jié)提煉

（六）作業(yè)

1.教材P104習題3.31,2,3,4；

2.思考題：灰太狼和喜洋洋相約在第二天的早上7點到8點在羊村門口碰面，事

達站臺立即乘上車的概率是多少？

先約定先到者等候另一方15分鐘，過時離去.那么雙方能夠碰面的概率是多少？

教學設計說明：

1．對教材的研究和認識

幾何概型是繼古典概型之后學生學習的另一類等可能概型，是對古典概型概念的延伸，同時，幾何概型中事件的概率計算公式雖然和古典概型中并不相同，但是本質(zhì)都是比值，幾何概型中點的個數(shù)雖然無限，但是構(gòu)成點的區(qū)域測度卻是可比的，故而也可以認為古典概型是幾何概型的支撐點，幾何概型是古典概型的生長點，兩者相輔相成．要讓學生在比較中提高對古典概型的理解,進一步體會概率的思想及其豐富內(nèi)涵，同時學好本節(jié)內(nèi)容也可以為學習選修2-3中隨機變量及其分布列奠定基礎．盡管本節(jié)內(nèi)容在課程標準中的要求僅為了解和會簡單的計算，但蘊含的數(shù)形結(jié)合和數(shù)學建模的思想凸顯了其重要性．

2.學情分析

概率的知識學生在初中就已經(jīng)接觸過，本章在學生所學初步知識的基礎之上系統(tǒng)地學習概率知識．學生在初次接觸幾何概型問題時，基本上都可以依據(jù)自己的生活經(jīng)驗直接得出答案，在此我們要讓學生從理性的角度思考為什么可以這樣求概率，讓學生能夠用數(shù)學的語言去描述問題，用數(shù)學的思想和方法去解決問題，培養(yǎng)學生的理性思維．3.課堂教學策略的選擇

本節(jié)內(nèi)容大體按六個環(huán)節(jié)展開：問題情境，意義建構(gòu)，簡單應用，課堂自測，回顧總結(jié)，學生活動穿插在每個環(huán)節(jié)中．首先從學生熟悉的故事情節(jié)出發(fā)，使學生能夠從生活實例中提取模型，在古典概型向幾何概型的轉(zhuǎn)變中發(fā)現(xiàn)兩者的相同點和不同點，進一步深究事件的構(gòu)成情況總結(jié)出幾何概型的定義和概率計算公式，這個概念生成的過程由學生積極思考，教師從旁引導完成．為了使學生更深刻的理解概念，教師設置了一系列有梯度的例題，這幾個問題不僅是為了讓學生理解測度的概念，而且也讓學生學會如何從實際問題中提煉出數(shù)學模型，在問題解決的過程中鍛煉他們的合作交流能力．4.任務后延

本課教師的意圖不僅是讓學生在這節(jié)課上學會知識，而且在課后也能有同樣的學習熱情去鉆研其他問題，故教師在多個環(huán)節(jié)都給學生預留了自主探索的內(nèi)容，這樣不但適應了不同層次的學生的需求，而且也極大的激發(fā)了學生對數(shù)學的好奇心進而增強學習興趣并提高研究問題的能力．

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