高二理科數(shù)學(xué)期末知識總結(jié)(2-2,2-3)

高二第二學(xué)期理科數(shù)學(xué)總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)x；

x02、幾何意義：切線斜率；物理意義：瞬時(shí)速度；3、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

①C"0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(log11⑨2；⑩

xxx)"1xlnaa；⑧(lnx)"1x。

x12x

uvuvuvv24、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(uv)uv;(uv)uvuv;()u5、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yxyu;x;

6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得該點(diǎn)的切線斜率為該處的導(dǎo)數(shù)（kf(x0)）；利用點(diǎn)斜式（yy0k(xx0)）求得切線方程。

注意）所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？）所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線？（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：①f(x)0f(x)是增函數(shù)；

②f(x)0f(x)為減函數(shù)；③f(x)0f(x)為常數(shù)；反之，f(x)是增函數(shù)f(x)0，f(x)是減函數(shù)f(x)0

（3）利用導(dǎo)數(shù)求極值：）求導(dǎo)數(shù)f(x)；）求方程f(x)0的根；）列表得極值。（4）利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：

）求得極值；）求區(qū)間端點(diǎn)值（如果有）；得最值。

（5）求解實(shí)際優(yōu)化問題：

①根據(jù)所求假設(shè)未知數(shù)x和y，并由題意找出兩者的函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)給出x的范圍；②求導(dǎo)，令其為0，解得x值，舍去不符合要求的值；

③根據(jù)該值兩側(cè)的單調(diào)性，判斷出最值情況（最大還是最��？）；④求最值（題目需要時(shí)）；回歸題意，給出結(jié)論；7、定積分

定積分的定義：f(x)dxlimabnni1banf(i)（注意整體思想）

定積分的性質(zhì)：①kf(x)dxkf(x)dx（k常數(shù)）；

aabb②[f1(x)f2(x)]dxabbaf1(x)dxbaf2(x)dx；

③f(x)dxabcaf(x)dxbc（分步累加）f(x)dx（其中acb)。

微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：f(x)dxF(x)|bF(b)F(a)aab（熟記xnxn11（n1），，，，lnxsinxcosxcosxsinxn1x，exex）axaxlna定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：Sba；(f(x)g(x))dx（兩曲線所圍面積）

注意：若是單曲線yf(x)與x軸所圍面積，位于x軸下方的需在定積分式子前加“”②求變速直線運(yùn)動的路程：S③求變力做功：Wbav(t)dt；

baF(s)ds。

二、復(fù)數(shù)

1．概念：

z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；

z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；

2

z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z

（1）復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸

（2）復(fù)數(shù)zabi點(diǎn)Z（a,b）向量OZ(a,b)

三、推理與證明

（一）．推理：

合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。①歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。

②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。注：類比推理是特殊到特殊的推理啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。

演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提---------已知的一般結(jié)論；小前提---------所研究的特殊情況；結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。（二）證明⒈直接證明綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч�法。分析�?/p>

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

2．間接證明------反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

（三）數(shù)學(xué)歸納法

一般的證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0是命題成立；

假設(shè)當(dāng)nk(kn0,kN)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立。

那么由就可以判定命題對從n0開始所有的正整數(shù)都成立。

注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；①n0的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、組合和二項(xiàng)式定理

排列數(shù)公式:An=n(n-1)(n-2)(n-m＋1)=(nm)!(m≤n,m、n∈N*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列

mn!

An=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!，An1;

m組合數(shù)公式：CnmAnmn0n(n1)(nm1)m(m1)(m2)321Am（m≤n）,Cn0Cnn1；

組合數(shù)性質(zhì)：CnCnmnm;CnCnmm112nn1Cn1；Cn2CnnCnn2；

m1n11knkknn二項(xiàng)式定理：(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)

①通項(xiàng)：Tr1Cnranrbr(r0,1,2,...,n);②注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

①與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等（CnmCnnm）；

n2n②若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)（第

＋1項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)（C2）最大；若n為奇數(shù)，中間nn1n1兩項(xiàng)（第

n12+1和

n12+1項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)（Cn2，Cn2）最大；

012nn0213n1③CnCnCnCn2;CnCnCnCn2;

(6)求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和或奇（偶）數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)，注意運(yùn)用代入法（取x1,0,1）。

五.概率與統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)變量的分布列：

（求解過程：直接假設(shè)隨機(jī)變量啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，找其可能取值，求對應(yīng)概率，列表）

①隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：0pi1,i=1,2,；p1+p2+=1;②離散型隨機(jī)變量：

XPx1P1X2P2xnPn期望：EX＝x1p1+x2p2++xnpn+;

222方差：DX＝(x1EX)p1(x2EX)p2(xnEX)pn;

注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；DXEX22(EX)

2③兩點(diǎn)分布（01分布）：

X01期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).P1－pp

④超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則

P(Xk)CMCNMCnNknk,k0,1,m,mmin{M,n},其中，nN,MN。

稱分布列

X01mP

CMCNMCnN0n0

CMCNMCnN1n1CMCNMCnNmnm

為超幾何分布列，稱X服從超幾何分布。⑤二項(xiàng)分布（n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）：

若X～B（n,p）,則EX＝np,DX＝np（1-p）;注：P(Xk)Cnkpk(1p)nk。條件概率：P(B|A)n(AB)n(A)P(AB)P(A)，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。

注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：f(x)12(x)222e,xR,式中,（0）是參數(shù)，

分別表示總體的平均數(shù)（期望值）與標(biāo)準(zhǔn)差；

正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交啊啊啊啊啊啊啊��；②曲線是單峰的，關(guān)于直線x＝對稱；

③曲線在x＝處達(dá)到峰值

1；④曲線與x軸之間的面積為1；

P(aXb)22baf(x)dx，則X~N(,)

①曲線的對稱軸隨的變化沿x軸平移，變大，曲線右移；

②曲線高矮由確定：越大，曲線越“矮胖”，反之，曲線越“高瘦”；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X~N(0,1)，其中f(x)12ex22,xR,

注：P(3X3)=0.9974（3原則）

n1xab，線性回歸方程y其中xnnxi,y1nii1yni1b，

xyii1ninxyxyb，axi12inx2

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高二第二學(xué)期理科數(shù)學(xué)總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)x；

x02、幾何意義：切線斜率；物理意義：瞬時(shí)速度；3、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①C0；②(x)nxx"x"n"n1；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

"x""⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(log11⑨2；⑩

xxxax)"1xlna；⑧(lnx)"1x。

x21x

uuvuvv24、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(uv)uv;(uv)uvuv;()vu5、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yxyu;x;

6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得該點(diǎn)的切線斜率為該處的導(dǎo)數(shù)（kf(x0)）；利用點(diǎn)斜式（yy0k(xx0)）求得切線方程。

注意）所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？）所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線？（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：①f(x)0f(x)是增函數(shù)；

②f(x)0f(x)為減函數(shù)；③f(x)0f(x)為常數(shù)；反之，f(x)是增函數(shù)f(x)0，f(x)是減函數(shù)f(x)0

（3）利用導(dǎo)數(shù)求極值：）求導(dǎo)數(shù)f(x)；）求方程f(x)0的根；）列表得極值。（4）利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：

）求得極值；）求區(qū)間端點(diǎn)值（如果有）；得最值。（5）求解實(shí)際優(yōu)化問題：

①根據(jù)所求假設(shè)未知數(shù)x和y，并由題意找出兩者的函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)給出x的范圍；②求導(dǎo)，令其為0，解得x值，舍去不符合要求的值；

③根據(jù)該值兩側(cè)的單調(diào)性，判斷出最值情況（最大還是最�。浚�；④求最值（題目需要時(shí)）；回歸題意，給出結(jié)論；7、定積分

定積分的定義：f(x)dxlimabnni1banf(i)（注意整體思想）

定積分的性質(zhì)：①kf(x)dxkf(x)dx（k常數(shù)）；

aabb②bab[f1(x)f2(x)]dxbaf1(x)dxbaf2(x)dx；

③f(x)dxacaf(x)dxbcf(x)dx（其中acb)。（分步累加）

b微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：f(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

ab（熟記xnxn11（n1）lnxsinxcosxcosxsinx，，，，n1xaxaxxx，ee）lna定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：Sba(f(x)g(x))dx（兩曲線所圍面積）；

注意：若是單曲線yf(x)與x軸所圍面積，位于x軸下方的需在定積分式子前加“”②求變速直線運(yùn)動的路程：S③求變力做功：Wbav(t)dt；

baF(s)ds。

二、復(fù)數(shù)

1．概念：

z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；

z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2

（1）復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸

（2）復(fù)數(shù)zabi點(diǎn)Z（a,b）向量OZ(a,b)

三、推理與證明

（一）．推理：

合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。①歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。

演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理�！叭�段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提---------已知的一般結(jié)論；小前提---------所研究的特殊情況；結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。（二）證明⒈直接證明綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч�法。分析�?/p>

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2．間接證明------反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。（三）數(shù)學(xué)歸納法

一般的證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0是命題成立；

假設(shè)當(dāng)nk(kn0,kN)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立。那么由就可以判定命題對從n0開始所有的正整數(shù)都成立。

注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；①n0的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、組合和二項(xiàng)式定理

排列數(shù)公式:An=n(n-1)(n-2)(n-m＋1)=

mn!(nm)!(m≤n,m、n∈N*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列

An=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!，An1;

n0組合數(shù)公式：CnmAnmmAmn(n1)(nm1)m(m1)(m2)321mm1m（m≤n）,CnCn1；

0n組合數(shù)性質(zhì)：CnCnnmnm;CnCn0n12Cn1；Cn2CnnCnnn2nnn1；

二項(xiàng)式定理：(ab)CnaCna①通項(xiàng)：Tr1Cnarnrr1n1bCna1knkbkCnb(nN)

b(r0,1,2,...,n);②注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別；

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

①與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等（CnCnn2mnm）；

n②若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)（第

＋1項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)（C2）最大；若n為奇數(shù)，中間nn1n1兩項(xiàng)（第

0n121+1和

2n12+1項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)（Cn2，Cn2）最大；

nn0213n1③CnCnCnCn2;CnCnCnCn2;

(6)求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和或奇（偶）數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)，注意運(yùn)用代入法（取x1,0,1）。

五.概率與統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)變量的分布列：

（求解過程：直接假設(shè)隨機(jī)變量，找其可能取值，求對應(yīng)概率，列表）①隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：0pi1,i=1,2,；p1+p2+=1;②離散型隨機(jī)變量：

XPx1P1X2P2xnPn期望：EX＝x1p1+x2p2++xnpn+;方差：DX＝(x1EX)p1(x2EX)p2(xnEX)pn;注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；DXEX22222(EX)

2③兩點(diǎn)分布（01分布）：

X01期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).P1－pp④超幾何分布：

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則

P(Xk)CMCNMCNnknk,k0,1,m,mmin{M,n},其中，nN,MN。

稱分布列

X01mP

CMCNMCNn0n0

CMCNMCNn1n1CMCNMCNnmnm

為超幾何分布列，稱X服從超幾何分布。⑤二項(xiàng)分布（n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）：

若X～B（n,p）,則EX＝np,DX＝np（1-p）;注：P(Xk)Cnp(1p)條件概率：

P(B|A)n(AB)n(A)P(AB)P(A)kknk。

，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。

注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：f(x)12(x)222e,xR,式中,（0）是參數(shù)，

分別表示總體的平均數(shù)（期望值）與標(biāo)準(zhǔn)差；正態(tài)曲線的性質(zhì)：

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關(guān)于直線x＝對稱；③曲線在x＝處達(dá)到峰值

b12；④曲線與x軸之間的面積為1；

P(aXb)af(x)dx，則X~N(,)

2①曲線的對稱軸隨的變化沿x軸平移，變大，曲線右移；

②曲線高矮由確定：越大，曲線越“矮胖”，反之，曲線越“高瘦”；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X~N(0,1)，其中f(x)12ex22,xR,

注：P(3X3)=0.9974（3原則）

nxab，線性回歸方程y其中x1nnxi,y1ni1nyi，bi1nxiyinxyxinx22xyba，

i1i1

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