高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)列

一、數(shù)列定義：

數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，是定義在正整數(shù)集N（或它的有限子集

*{1,2,3,,n}）上的函數(shù)f(n)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始由小到大依次取正整數(shù)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的一列

函數(shù)值為f(1),f(2),；通常用an代替f(n)，于是數(shù)列的一般形式常記為a1,a2,或簡(jiǎn)記為{an}，其中an表示數(shù)列{an}的通項(xiàng)。

注意：（1）{an}與an是不同的概念，{an}表示數(shù)列a1,a2,，而an表示的是數(shù)列的第n項(xiàng)；

S1(n1)（2）an和Sn之間的關(guān)系：anSS(n2)n1n二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)：

等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列定義遞推公式通項(xiàng)公式anan1d(nN*,n2)anan1q(nN*,n2)ana1qn1（a1,q0）ana1(n1)dnSn(a1an)2Snna1n(n1)d2求和公式（）任意兩個(gè)數(shù)a,b有且只有一個(gè)等差中等差（比）ab項(xiàng)，即為A=；兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)中項(xiàng)兩個(gè)數(shù)a,b的等比中項(xiàng)為G（滿足2G2ab，ab0）a1ana2_________anma中2就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。等差（比）a1ana2_________anm數(shù)列的性2a中質(zhì)

若mnpq，則amanapaq；在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列若mnpq，則amanapaq；在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則公差為；{mankbn}仍為等差數(shù)列，{manbn}仍為等比數(shù)列，公比為；{man}仍為等比數(shù)列，公比為；bn三、判定方法：

（1）等差數(shù)列的判定方法：

①定義法：an1and或anan1d(n2)（d為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列②中項(xiàng)公式法：2an1anan2{an}是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：anpnq（p,q為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法：SnAnBn（A,B為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列（2）等比數(shù)列的判定方法：

①定義法：

2an1aq或nd(n2)（q是不為零的常數(shù)）{an}是等比數(shù)列anan12②中項(xiàng)公式法：an1anan2(anan1an20){an}是等差數(shù)列③通項(xiàng)公式法：ancq（c,q是不為零常數(shù)）{an}是等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法：Snkqk（k2na1是常數(shù)）{an}是等差數(shù)列q1四、數(shù)列的通項(xiàng)求法：

（1）觀察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，201*，201*7，……（2）化歸法：通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。①遞推式為an1and及an1qan（d,q為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。②遞推式為an1anf(n)：迭加法

如：已知{an}中a111，an1an，求an24n21③遞推式為an1f(n)an：迭乘法如：已知{an}中a12，an1n1an，求ann④遞推式為an1panq（p,q為常數(shù)）：

構(gòu)造法：Ⅰ、由an1panq相減得(an2an1)p(an1an)，則

an2pan1q{an1an}為等比數(shù)列。

Ⅱ、設(shè)(an1t)p(ant)，得到pttq，t為等比數(shù)列。

如：已知a11,an12an5，求an⑤遞推式為an1panq（p,q為常數(shù)）：

兩邊同時(shí)除去qn1nqq，則{an}p1p1得

an1pan1anp1b，令，轉(zhuǎn)化為，bbnn1nn1nnqqqqqqq再用④法解決。如：已知{an}中，a1511n1，an1an()，求an632⑥遞推式為an2pan1qan（p,q為常數(shù)）：

將an2pan1qan變形為an2tan1s(an1tan)，可得出stp解出

stqs,t，于是{an1tan}是公比為s的等比數(shù)列。

如：已知{an}中，a11,a22，an2（3）公式法：運(yùn)用an221an1an，求an33S1,n1SnSn1,n2

①已知Sn3n5n1，求an；②已知{an}中，Sn32an，求an；

2Sn(n2)，求an③已知{an}中，a11,an2Sn12

五、數(shù)列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）數(shù)列前n項(xiàng)和公式：②123nnn1；2③123n（2）倒序相加（乘）法：

2222n(n1)(2n1)n(n1)23333]；④123n[62如：①求和：SnCn2Cn3Cn(n1)Cn；

②已知a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若在a,b之間插入n個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以a為首項(xiàng)，b為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這n個(gè)正數(shù)的積Pn；

（3）錯(cuò)位相減法：如：求和：Sx2x3xnx（4）裂項(xiàng)相消法：an23n012n1；ann(nk)1nkn；

如：①S1111；122334n(n1)1111；132435n(n2)1nn1，則Sn；

②S③若an（5）并項(xiàng)法：如：求S100123499100

（6）拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列{an}中，an102n1，求Sn，

n六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略：

分類討論問(wèn)題：

①在等比數(shù)列中，用前n項(xiàng)和公式時(shí)，要對(duì)公比q進(jìn)行討論；只有q1時(shí)才能用前n項(xiàng)和

公式，q1時(shí)S1na1

②已知Sn求an時(shí)，要對(duì)n1,n2進(jìn)行討論；最后看a1滿足不滿足an(n2)，若滿足an中的n擴(kuò)展到N，不滿足分段寫成an

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五、數(shù)列

一、數(shù)列定義：

數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，那么它就必定有開(kāi)頭的數(shù)，有相繼的第二個(gè)數(shù)，有第三個(gè)數(shù)，……，于是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)于數(shù)列中的一個(gè)數(shù)。因此，數(shù)列就是定義在正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1,2,3,,n}）上的函數(shù)f(n)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始由小到大依次取正整數(shù)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值為通常用an代替f(n)，于是數(shù)列的一般形式常記為a1,a2,或簡(jiǎn)記為{an}，f(1),f(2),；

其中an表示數(shù)列{an}的通項(xiàng)。

注意：（1）{an}與an是不同的概念，{an}表示數(shù)列a1,a2,，而an表示的是數(shù)列的第n項(xiàng)；

（2）數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，

它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值。S1(n1)（3）an和Sn之間的關(guān)系：an

SS(n2)n1n*如：已知{an}的Sn滿足lg(Sn1)n(nN)，求an。

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)：

定義等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列anq(nN*,n2)，或公差（比）anan1d(nN,n2)，或*an1an1anan1and；q（q0）；通項(xiàng)公式anamd=anam由錯(cuò)項(xiàng)相減法推得求和公式由倒序相加法推得Sn=①q1，Sn=②q1，Sn用函數(shù)的思想理解通

若{an}為等差數(shù)列ananb，則a，b；n若{an}為等比數(shù)列anca，則a，c；項(xiàng)公式等差數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn)若{an}為等比數(shù)列，SnAanB，等差數(shù)列{an}，SnAn2BnC，用函數(shù)的思想理解求和公式則a；A；B；則C；A；B；（其中的系數(shù)與為互為相反數(shù)，這是公式一很重要特點(diǎn)，若C0，說(shuō)明：；注意前提條件q0,q1。）(n,Sn)在二次函數(shù)的若BA，說(shuō)明：；等比數(shù)列{an}，Sn3na，則a；{an}為遞增數(shù)列；圖象上，是一群孤立的點(diǎn)。{an}為遞增數(shù)列；{an}為遞減數(shù)列；增減性{an}為遞減數(shù)列；{an}為常數(shù)列；{an}為常數(shù)列。{an}為擺動(dòng)數(shù)列；等差（比）中項(xiàng)任意兩個(gè)數(shù)a,b有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即為；兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。a1ana2_________anm2a中兩個(gè)數(shù)a,b的等比中項(xiàng)為；（ab0）a1ana2_________anma中2若mnpq，則____________；若mnpq，則____________；特別當(dāng)mn2p，則；特別當(dāng)mn2p，則；等差（比）數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列。如：a1,a3,a5,；問(wèn)公差為a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列，剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列也不一定是等比數(shù)列。如：a1,a3,a5,；問(wèn)公比為a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9是數(shù)列；公差為；Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差數(shù)是數(shù)列；公比為；a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9列。是數(shù)列；公比為；

a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9是數(shù)列；公差為；是數(shù)列；公比為；若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則公差為；{mankbn}仍為等差數(shù)列，公比為；{manbn}仍為等比數(shù)列，{manbn}仍為等比數(shù)列，公比為；如：（1）在等差數(shù)列{an}中Sn10，S2n30，則S3n；

（2）在等比數(shù)列{an}中Sn10，S2n30，則S3n；另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：

（1）等差數(shù)列{an}中，若anm,amn(mn)，則amn；（2）等差數(shù)列{an}中，若Snm,Smn(mn)，則Smn；

（3）等差數(shù)列{an}中，若SnSm(mn)，則am1am2an；Smn；（4）若SPSq，則n時(shí)，Sn最大。（5）若{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，

則

ambmS______T______；

ambnS______T______

（6）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}，有S2n間的兩項(xiàng)）

S偶S奇；n(a1a2n)2n2(anan1)（an與an1為中

S奇S偶；

項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列{an}，有S2n1(2n1)an（an為中間項(xiàng)）

S奇S偶；S奇S偶；S奇S偶；

等比數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：

（1）若{an}是等比數(shù)列，則{an}(0)，{|an|}也是等比數(shù)列，公比分別；；

（2）若{an}是等比數(shù)列，則{三、判定方法：

（1）等差數(shù)列的判定方法：

1an}，{an}也是等比數(shù)列，公比分別；；

2①定義法：an1and或anan1d(n2)（d為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列②中項(xiàng)公式法：2an1anan2{an}是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：anpnq（p,q為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn（A,B為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列注意：①②是用來(lái)證明{an}是等差數(shù)列的理論依據(jù)。（2）等比數(shù)列的判定方法：

①定義法：

an1anq或

anan1d(n2)（q是不為零的常數(shù)）{an}是等比數(shù)列

②中項(xiàng)公式法：an1anan2(anan1an20){an}是等差數(shù)列

n③通項(xiàng)公式法：ancq（c,q是不為零常數(shù)）{an}是等差數(shù)列

22④前n項(xiàng)和公式法：Snkqk（ka1q1是常數(shù)）{an}是等差數(shù)列

注意：①②是用來(lái)證明{an}是等比數(shù)列的理論依據(jù)。四、數(shù)列的通項(xiàng)求法：（1）觀察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，201*，201*7，……（2）化歸法：通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。

①遞推式為an1and及an1qan（d,q為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。②遞推式為an1anf(n)：迭加法如：已知{an}中a112，an1an14n12，求an

③遞推式為an1f(n)an：迭乘法如：已知{an}中a12，an1n1nan，求an

④遞推式為an1panq（p,q為常數(shù)）：

an1panq構(gòu)造法：Ⅰ、由相減得(an2an1)p(an1an)，則

apaqn1n2{an1an}為等比數(shù)列。

Ⅱ、設(shè)(an1t)p(ant)，得到pttq，t為等比數(shù)列。

如：已知a11,an12an5，求an⑤遞推式為an1panqn（p,q為常數(shù)）：

兩邊同時(shí)除去qn1得再用④法解決。如：已知{an}中，a156qp1，則{anqp1}

an1qn1pqanqn1q，令bnanqn，轉(zhuǎn)化為bn1pqbn1q，

，an111n1an()，求an32⑥遞推式為an2pan1qan（p,q為常數(shù)）：

將an2pan1qan變形為an2tan1s(an1tan)，可得出s,t，于是{an1tan}是公比為s的等比數(shù)列。

stpstq解出

如：已知{an}中，a11,a22，an2S1,n1（3）公式法：運(yùn)用an

SnSn1,n223an113an，求an

2①已知Sn3n5n1，求an；②已知{an}中，Sn32an，求an；

③已知{an}中，a11,an五、數(shù)列的求和法：

2Sn22Sn1(n2)，求an

（1）公式法：

①等差（比）數(shù)列前n項(xiàng)和公式：②123n；

③123n（2）倒序相加（乘）法：

012n如：①求和：SnCn2Cn3Cn(n1)Cn；

2222n(n1)(2n1)6；④123n[3333n(n1)2]

2

②已知a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若在a,b之間插入n個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以a為首項(xiàng)，b為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這n個(gè)正數(shù)的積Pn；

（3）錯(cuò)位相減法：如：求和：Sx2x23x3nxn（4）裂項(xiàng)相消法：an1121131n(nk)1231241nn1；an1nkn；

如：①S1341351n(n1)1n(n2)；

②S；

③若an，則Sn；

（5）并項(xiàng)法：如：求S100123499100

n（6）拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列{an}中，an102n1，求Sn，

六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略：

（1）分類討論問(wèn)題：①在等比數(shù)列中，用前n項(xiàng)和公式時(shí)，要對(duì)公比q進(jìn)行討論；只有q1

時(shí)才能用前n項(xiàng)和公式，q1時(shí)S1na1

②已知Sn求an時(shí)，要對(duì)n1,n2進(jìn)行討論；最后看a1滿足不滿足

an(n2)，若滿足an中的n擴(kuò)展到N，不滿足分段寫成an。

*（2）設(shè)項(xiàng)的技巧：

①對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為,a3d,ad,ad,a3d,，公差為2d；對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為,a2d,ad,a,ad,a2d,，公差為d；

aq3②對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，可設(shè)為,,aqaq,aq,aq,，公比為q；

32對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，可設(shè)為,aq2,,a,aq,aq,公比為q；

2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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