初中數(shù)學(xué)教研課題的選擇

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考1997年第6期1

□教研指南□

初中數(shù)學(xué)教研課題的選擇

湖北省應(yīng)城市教學(xué)研究室喻俊鵬

隨著教育及教學(xué)改革的不斷深入和發(fā)展,其結(jié)構(gòu)也在不斷地調(diào)整和變化.為了適應(yīng)變化的教學(xué)結(jié)構(gòu),教學(xué)方法也應(yīng)該有一個相應(yīng)的發(fā)展.因此,肩負義務(wù)教育、素質(zhì)教育重任的初中數(shù)學(xué)學(xué)科,應(yīng)當把握時代的脈搏,面向未來,探索和總結(jié)出新的教育理論和方法.作為數(shù)學(xué)知識的直接傳播者數(shù)學(xué)教師,如何確定教育、教學(xué)研究的方向,選擇適合自己特長的研究課題,就顯得更為迫切.下面,筆者根據(jù)自己在這個方面的實踐,談幾點看法,供大家參考.

一、加強教研意識,突出課題研究面對繁重的教學(xué)工作,不少教師認為再沒有時間去從事教學(xué)研究,或錯誤地認為教學(xué)研究是教研部門的事情,與自己沒有直接聯(lián)系,普遍存在對教研工作持淡漠態(tài)度.殊不知,要貫徹落實九年義務(wù)教育的教學(xué)目

標,大面積提高教學(xué)質(zhì)量,必須進行教學(xué)方法的改革,而教法的改革有賴于教研的開展,教研的開展又必須狠抓課題研究.只有確立良好的教研意識,突出課題研究,才能使教學(xué)、教研融為一體,才能實現(xiàn)從粗放的研究向精細的研究轉(zhuǎn)化,才能獲取階段性研究成果和突破性進展.

基于上述認識,以探索課堂教學(xué)規(guī)律為目標,從大面積提高教學(xué)質(zhì)量的需要出發(fā),我們針對學(xué)生實際,通過調(diào)查研究,發(fā)現(xiàn)有礙于提高教學(xué)質(zhì)量的問題,經(jīng)過歸類選擇,將問題變?yōu)檎n題,進行周期長短不一的研究.其重點課題有:

1.如何培養(yǎng)學(xué)生思維能力的研究;2.數(shù)學(xué)課堂目標教學(xué)評價的研究;

3.學(xué)科教學(xué)中如何滲透變應(yīng)試教育為素質(zhì)教育的

練,培養(yǎng)學(xué)生思維能力》一文,發(fā)表在人民教育出版社

(初中版)1996年第主辦的《教與學(xué)》5期上.

二、注重學(xué)科理論,研究基礎(chǔ)課題

數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展,雖已有數(shù)千年的歷史,其基礎(chǔ)理論的發(fā)展已相當完善,但仍然存在著以下許多值得研究的課題.

(一)對初等數(shù)學(xué)命題進行研究

1.開展對已有命題進行變化、推廣與引申方面的

研究.通常采用的方法有:

(1)互換原命題的條件和結(jié)論,研究其逆命題和否命題及逆否命題;

(2)保留條件,深化結(jié)論,研究可進一步得到的新結(jié)論;

(3)保留結(jié)論,減弱條件,研究命題是否成立或會產(chǎn)生什么新的結(jié)論;

(4)將命題的條件特殊化,研究命題的特殊情形;(5)將命題的條件一般化,研究命題的推廣或引申.

例1如圖1,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中點,DE⊥

.求證:DEAM,E是垂足

=2ab.(義務(wù)教育224a+b三年制初中教科書《幾何》

圖1

研究;

4.如何發(fā)揮學(xué)生智力因素的研究;

5.如何根據(jù)新教材特點,激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣的研

BM=

第二冊P.247)

上述問題中,點M是.能夠改變點MBC的中點的位置嗎?

若點M在BC上,且

n

能求出BC,還m

DE的長嗎?于是就形成

究.

上述研究課題目前均已啟動,其中一個課題已取

得階段性進展,其經(jīng)驗總結(jié)性論文《加強數(shù)學(xué)思維訓(xùn)

了以下問題:

(1)如圖2,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC

圖2

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2

=b,點M在BC上,且BM=.E.求DE的長

(2)如圖3,已知:在矩

nBC,DE⊥AM,垂足為m

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考1997年第6期

.(1994年湖北省AB、AE、CD于F、G、H.求FH的長

孝感市中招試題)

(3)如圖6,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC

形ABCD中,AB=a,BC

=b,點M在CB的延長線上,且BM=kBC,DE⊥直線AM,垂足為E.求DE的值.

2.結(jié)合課堂教學(xué),開展對某些命題證法的改進

=8cm.⊙O是以BC為直

徑的圓,點P在AD上運(不運動至動AD的兩個端點),BP交⊙O于點Q,

連結(jié)CQ.求當

圖3

CQ=

65

時,

和方法更新方面的研究.

這方面可做的工作有:對一些傳統(tǒng)的幾何命題的證法進行簡化,研究某些典型命題的多種證法以及對某些命題證法的共性的研究,等等,都是十分有價值的工作.例如上述例題在用相似三角形證明的過程中,我們可探究出多種添輔助線的方法以及相應(yīng)的面積證法、對稱性證法等多種方法.

(二)進行初等數(shù)學(xué)解題理論及實踐的研究初等數(shù)學(xué)的解題研究是一個永不枯竭的課題.在理論方面,應(yīng)通過對具體解題方法的系統(tǒng)總結(jié)、加工、提煉,形成具有指導(dǎo)意義的一般方法,并對這些方法進行理論概括,闡明一般方法的原理,探析各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建解題理論.在實踐方面,也需要對各類問題的現(xiàn)有解法進行比較、分析,總結(jié)其優(yōu)劣,并尋求最簡捷的解法.并且由此可建立這類問題的數(shù)學(xué)模(如圖型1中,由面積公式,總成立AMDE=AD

.例如下列AB),從而總結(jié)出解決這類問題的一般方法

中招試題均可應(yīng)用上述數(shù)學(xué)模型予以簡捷求解.

(1)如圖4,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,且BE=2EC,DM⊥

求AE,垂足為M..(1993年sin∠MAD的值

BP

圖6

△BQC與△PAB的面積比和AP的長.(1993年浙江

省寧波市中招試題)

三、探析數(shù)學(xué)試題,研究競賽數(shù)學(xué)

近年來,為落實新的教學(xué)大綱,實現(xiàn)應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)軌,很多中考試題及競賽試題的命制都是源于課本高于課本的.這就需要我們對課本習題及各類試題有一個本質(zhì)的認識與深入的研究.這方面可供研究的課題有以下幾點:(一)開展對各類試題的研究工作

1.有關(guān)試題結(jié)構(gòu)的研究.探討各種主、客觀題型合

理的數(shù)量及比例關(guān)系,試題的深度與廣度的把握方法等.

2.試題題型的研究.本地區(qū)及全國各省市的中招試題題型的變化方向等,都有研究的必要.除了不斷改進已有題型,還應(yīng)探討如何在舊題型的基礎(chǔ)上構(gòu)造新題型,以增強試題的新穎性、可行性及客觀性.

3.對整個試卷的難度、區(qū)分度、效度和信度的研究.通過這方面的研究,以便及時掌握試卷命題的發(fā)展趨勢及有關(guān)規(guī)律.

(二)研究競賽數(shù)學(xué)的有關(guān)問題在數(shù)學(xué)競賽這一領(lǐng)域中,存在著許多新的問題有待于我們?nèi)ヌ剿鹘鉀Q.筆者認為,目前應(yīng)開展的研究課題有以下幾個方面:

1.學(xué)習新的數(shù)學(xué)競賽大綱,研究如何處理好普及與提高的關(guān)系;

2.進行對數(shù)學(xué)競賽選手個性的追蹤研究,從中探尋規(guī)律,積累經(jīng)驗;

3.研究數(shù)學(xué)競賽選手的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)及素質(zhì)結(jié)構(gòu);

4.在普及和提高的基礎(chǔ)上,研究選拔數(shù)學(xué)競賽選手的有效標準;

5.進行如何優(yōu)化數(shù)學(xué)競賽選手的培訓(xùn)過程的研

圖4

廣東省中招試題)

(2)如圖5,ABCD是矩形,AB=8,AD=7,E是一點,且BC上BE∶EC=6∶1.連結(jié)AE,并作AE的垂直平分線分別交

圖5

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6.研究數(shù)學(xué)競賽試題的特征、結(jié)構(gòu)及隱含在其中

3

(下)第提煉為數(shù)學(xué)思想.例如初中《代數(shù)》第一冊40頁

第二題,初中《代數(shù)》第二冊第99頁例題,均可運用整體思想而簡捷巧妙地求出結(jié)果.這種觀念上的認識與深化,有助于形成思維的深刻性、靈活性和批判性.

(三)進行數(shù)學(xué)方法的研究數(shù)學(xué)本身就是理論與

的解題規(guī)律.

四、學(xué)習數(shù)學(xué)思想,研究數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的研究雖然起步較晚,但近年來已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個熱門話題.作為一種觀念,要求將它滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)與教研之中;作為數(shù)學(xué)解題思路的揭示和方法的選擇,它起著調(diào)控和決策的作用;作為知識結(jié)構(gòu)的連接,它又具有橋梁和樞紐的功能.因此,在教學(xué)中滲透并適時系統(tǒng)研究整理數(shù)學(xué)思想方法,研究數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用及其意義,是非常重要的,受到人們的普遍關(guān)注和高度重視.

(一)開展對數(shù)學(xué)思維類型的研究

《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確指出:“數(shù)學(xué)教學(xué)中,發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心.”如今,愈來愈多的數(shù)學(xué)教育工作者開始把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力擺在教學(xué)的突出位置,這是因為,數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心.為了促進思維能力的

發(fā)展,就必須高度關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中的思維活動,必須研究思維活動發(fā)展的規(guī)律,研究數(shù)學(xué)思維的有關(guān)類型,如:數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)邏輯思維、數(shù)學(xué)直覺思維、數(shù)學(xué)形象思維等.此外,若從不同角度劃分,還有輻合思維與發(fā)散思維,再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維,直觀性動作思維與具體形象思維,抽象邏輯思維與辯證思維,等等.上述思維類型的功能、結(jié)構(gòu)、內(nèi)在聯(lián)系以及在數(shù)學(xué)教學(xué)中所起的作用,都值得我們?nèi)フJ真研究與探討.

(二)注重數(shù)學(xué)思想的研究

方法的辯證統(tǒng)一.數(shù)學(xué)方法

是以數(shù)學(xué)為工具進行科學(xué)研究的方法,它是數(shù)學(xué)思想的具體反映.數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,學(xué)生的認知活動不僅是理解數(shù)學(xué)知識,更重要的是掌握數(shù)學(xué)思想方法.對數(shù)學(xué)方法而言,有宏觀方法與微觀方法之分,分析方法與操作方法之別,在解題中又細分出許多方法.雖然化歸的方法可以包攬全部的方法,只是僅就化歸而言,亦有宏觀抽象化歸與微觀具體化歸之區(qū)別.而解決數(shù)學(xué)問題的過程,就是發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論的關(guān)系,并尋找實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法,達到條件與結(jié)論和諧統(tǒng)一的過程.因此,對各種數(shù)學(xué)方法進行梳理,劃出層次,給出結(jié)構(gòu),探討這些方法的具體應(yīng)用等,都是我們研究的課題.

五、開展教學(xué)實踐,研究教學(xué)理論

教學(xué)的實踐與理論研究是數(shù)學(xué)教育研究的主線.

這方面的研究課題很多,每個教師都不難找到適合自身特點的研究領(lǐng)域.但在具體實踐和研究中必須注意以下幾點:

1.開展教育實踐與科研,必須以科學(xué)的教育理論作指導(dǎo),善于捕捉時代的信息,把握時代的脈搏,掌握教育及教學(xué)改革的方向,面向未來.對原有知識和經(jīng)驗進行重新組合,更新觀念,勇于實踐創(chuàng)新,不斷探索和總結(jié)出新的教育理論和方法.

2.加強現(xiàn)代教育、教學(xué)理論的學(xué)習,掌握立題實驗

所謂數(shù)學(xué)思想,是指人們在研究數(shù)學(xué)的過程中,對

其內(nèi)容、方法、結(jié)構(gòu)、思維方式及其意義的基本看法和本質(zhì)的認識,是人們認識數(shù)學(xué)的觀念系統(tǒng).目前在初中階段提到的數(shù)學(xué)思想有:字母代數(shù)的思想,邏輯推理的思想,分解組合的思想,轉(zhuǎn)化變換的思想,整體代換的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,分類討論的思想,集合對應(yīng)的思想,數(shù)學(xué)模型的思想,公理化的思想,等等.這些思想的產(chǎn)生、內(nèi)涵,其結(jié)構(gòu)及適用范圍都有待于我們?nèi)ヌ骄?它們之間的本質(zhì)聯(lián)系、非本質(zhì)聯(lián)系,內(nèi)在聯(lián)系、外在聯(lián)系,必然聯(lián)系、偶然聯(lián)系,一般聯(lián)系、特殊關(guān)系,以及它們之間的層次關(guān)系,都需要我們?nèi)フJ真分析總結(jié).教學(xué)中,教師必須善于挖掘和抽象出問題的轉(zhuǎn)化方式,并

的操作方法,不斷增強科研能力和教育、教學(xué)研究的四個意識:“一流意識”“合作意識”“通才意識”“目標意識”.在用先進的教育理論指導(dǎo)進行微觀實踐的同時,認真做好教育、教學(xué)實踐的階段性經(jīng)驗總結(jié),逐步形成具有自己特色的教育、教學(xué)研究風格.

3.拓寬教育、教學(xué)研究渠道,注意處理好課內(nèi)與課外的關(guān)系,建立教育研究活動體系.選準子課題,形成科研課題的系列網(wǎng)絡(luò),即大課題必須以若干小課題為依托,才能得以充實和完善;而子課題又必須以大課題為指導(dǎo).開始選擇研究課題時,應(yīng)扎扎實實有針對性地搞一些微觀子課題的研究,并切實做好階段性總結(jié),以便積累經(jīng)驗,穩(wěn)步推進.

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中文摘要

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)實際的橋梁，在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育實施中越來越發(fā)揮重要的作用。數(shù)學(xué)應(yīng)用題無論在教學(xué)實踐還是在理論研究中都具有十分重要的意義。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一。

針對目前應(yīng)用題教學(xué)難的事實，對—怎樣提高初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題水平‖進行了研究。本文的研究從以下三個方面著手：第一，通過問卷設(shè)計進行了學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)應(yīng)用題的興趣、動機、方法的調(diào)查。第二，運用設(shè)計的測試卷，進行了學(xué)生解應(yīng)用題中思維過程的調(diào)查。報告了學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中存在的解題障礙的現(xiàn)狀。根據(jù)初中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解題障礙分析，歸納出提高初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題能力的策略。第三，在教學(xué)中，設(shè)計、實踐—應(yīng)用題解題策略訓(xùn)練‖的教學(xué)過程，通過對學(xué)生進行后測以及個案分析，證明應(yīng)用題解題策略訓(xùn)練能夠提高解題水平。

實驗報告的數(shù)據(jù)證明，策略訓(xùn)練對解題水平提高具有實效性。根據(jù)初中生學(xué)習的特征，得出三條提高初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題能力的策略。一、在應(yīng)用題教學(xué)中要注意加強元認知調(diào)控；二、進行思維訓(xùn)練課干涉應(yīng)用題解題；三、在教學(xué)中應(yīng)用題教學(xué)中要注重語言轉(zhuǎn)換和呈現(xiàn)方式的轉(zhuǎn)換。研究表明解題策略訓(xùn)練一定會促進學(xué)生應(yīng)用題水平的提高。幫助學(xué)生克服應(yīng)用題解題的心理障礙，增強學(xué)生學(xué)習的自信心、自豪感。

關(guān)鍵詞:元認知；解題策略；數(shù)學(xué)應(yīng)用題Abstract

Mathematicsisthebridgebetweenmathematical)heoryandtherealmathematics,playamoreandmoreimportantroleinimplementingmathematicsqualityeducation.Mathematicsapplicationproblemhasveryimportantmeaningwhetherinpracticeorintheory.Cultivatingthestudents"abilityofapplyingmathematicstosolvetheproblem,isoneoftheimportantaimsofmathematicsteaching.

presenttheapplicationtopicteachinghardfacts,on"howtoimprovemiddleschoolstudents"mathematicsapplicationproblemsolvinglevel"isstudied.Thispaperstudiesfromthefollowingthreeaspects:first,throughthedesignofthequestionnairesurvey,motivation,interestinstudents"mathematicsapplicationproblem.Second,bythedesignofthetest,conductedasurveyofstudentsthinkingintheprocessofapplicationsolutions.Presentsituationofproblem-solvingdisorderreportedstudentssolvemathproblems.Accordingtotheanalysisofsolvingmathematicsapplicationproblemsolvingdisordersofjuniormiddleschoolstudents,theauthorsummedupthejuniorhighschoolstudentsmathematicsapplicationproblem-solvingabilitystrategy.Thirdtheauthorinteaching,design,practice"teachingproblemsolvingstrategytraining",throughtheanalysisofthestudents"posttestandcase,thatproblemsolvingstrategytrainingcanimproveproblemsolvinglevel.

Experimentalreportdatashows,withtheeffectivenessofstrategytrainingontheproblem-solvinglevel.Accordingtothecharacteristicsofjuniorhighschoolstudents"study,summedupthethreejuniorhighschoolstudentsmathematicsapplicationproblem-solvingabilitystrategy.One,intheapplicationtopicteachingshouldpayattentiontostrengtheningthemetacognitiveregulation;two,thinkingtrainingcourseinterferenceproblemsolving;three,applicationtopicteachingshouldpayattentiontothelanguagetransformationandpresentationintheteaching.Theauthorbelievesthatthestrategytrainingwillpromotethelevelofthestudentsimprovedapplicationproblems.Tohelpstudentsovercomethepsychologicalobstaclesinsolvingapplicationproblems,enhancestudentsself-confidence,senseofpride.

Keywords:Meta-cognition,Problemsolvingstrategies,Mathwordproblems第一章緒論1.1問題的提出

1．數(shù)學(xué)應(yīng)用題在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習，可以幫助學(xué)生提升理性分析能力與邏輯思維的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。沒有數(shù)學(xué)這門學(xué)科作為基石，我們將缺失認識世界的能力和基本工具。

初中數(shù)學(xué)課程標準提到：—數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習必不可少的工具,能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)‖[1]。數(shù)學(xué)學(xué)科來自于實踐又廣泛應(yīng)用于是實踐，在提高國民素質(zhì)中起著重要作用，數(shù)學(xué)應(yīng)用教育，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和和實踐能力不可缺少的。1980年4月美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會在《關(guān)于行動的議程》中指出—必須把問題解決作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心‖—學(xué)習數(shù)學(xué)的主要目的在于解決實際生產(chǎn)生活中的問題，是把學(xué)到的知識運用到新的和不熟悉的情景中去的過程[2]數(shù)學(xué)應(yīng)用題無論在教學(xué)實踐還是在理論研究中都具有十分重要的意義‖。

2．掌握好應(yīng)用題是數(shù)學(xué)教學(xué)—課標‖的要求

數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)、提升人的推理能力、抽象能力，并且在想像力和創(chuàng)造力的養(yǎng)成方面有特殊的作用。數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法和語言組成了人類文化和文明的主要部分，對于社會的發(fā)展有著重要的意義。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程充分體現(xiàn)了教學(xué)的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，實現(xiàn)[3]：

—--人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；--人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；

--不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展‖。

"數(shù)與代數(shù)""空間與圖形""統(tǒng)計與概率""實踐與綜合應(yīng)用"四個領(lǐng)域的學(xué)習，符合《初中數(shù)學(xué)課程標準》的要求。是課程學(xué)習的主要內(nèi)容，加強學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習能力和增加數(shù)學(xué)活動，是發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念，以及應(yīng)用意識與推理能力的有效方法。尤其是"實踐與綜合應(yīng)用"不僅提高學(xué)生綜合運用已有的知識，還可以豐富學(xué)生對于學(xué)習方法、解題策略經(jīng)驗積累。學(xué)生在學(xué)習的過程中，通過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，使學(xué)生解決問題的能力得以發(fā)展，加深對"數(shù)與代數(shù)""空間與圖形""統(tǒng)計與概率"內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系。

本文研究的問題是：當前初中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力欠缺，導(dǎo)致了成績難以提高，數(shù)學(xué)解題的思維受到阻礙。針對這一問題的解決，筆者在教學(xué)中，經(jīng)過探索、實驗、制定了初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題水平的研究，并想通過研究報告，得出有效性方法改善學(xué)習應(yīng)用題的現(xiàn)狀。

1.2研究的目的

我們學(xué)數(shù)學(xué)的重要目的之一就是運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實中的實際問題。從學(xué)生解答應(yīng)用題的能力的培養(yǎng)上來看，其基本內(nèi)容是使學(xué)生能夠運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題。應(yīng)用題反映了周圍環(huán)境中常見的數(shù)量關(guān)系，需要用不同的數(shù)學(xué)知識把實際生活和一些簡單的科學(xué)知識聯(lián)系起來，從而使學(xué)生既了解數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，又初步培養(yǎng)了運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。此外，應(yīng)用題教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，有利于促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛，數(shù)學(xué)就存在于我們每個人的身邊，數(shù)學(xué)應(yīng)用有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，分析問題的能力。所以，對于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的研究，是科學(xué)發(fā)展的需要，也是優(yōu)化教學(xué)途徑要求的。

我國1978年的教學(xué)大綱就已提出:—培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力‖這一目標。在201*年，教育部實行課程改革，并頒布《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)》(簡稱《課標》)�！墩n標》對解決問題的總體目標是:—初步學(xué)會由現(xiàn)實生活問題出發(fā)，將問題現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過解數(shù)學(xué)問題再轉(zhuǎn)回到現(xiàn)實生活問題，從而做到現(xiàn)實生活問題數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實生活問題的轉(zhuǎn)換，最終達到現(xiàn)實與數(shù)學(xué)的成功結(jié)合與轉(zhuǎn)換。學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。初步形成評價與反思的意識。[4]‖為什么如此重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用呢?數(shù)學(xué)知識是人類從社會實踐活動發(fā)展形成的，數(shù)學(xué)發(fā)展的目的之一是要服務(wù)于現(xiàn)實需要。因此，由生活實際問題數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題，這種模式說明了，人們對數(shù)學(xué)的認識很大程度上是通過社會實踐活動而產(chǎn)生，并在社會實踐活動中使這種認識得到升華。

無論課程怎樣改革，數(shù)學(xué)應(yīng)用題在教學(xué)中有著不可替代的重要地位。在教師的課堂教學(xué)工作中碰到問題與困難是難免的。那么，如何攻克—應(yīng)用題‖這一難題?有怎樣的策略可以解決呢？要怎樣做才能使得學(xué)生們熱愛學(xué)習初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題呢?為了讓學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決生產(chǎn)、生活中遇到的的實際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生們解決問題的能力又怎樣好的方法呢？數(shù)學(xué)教材的設(shè)計在這一方面，除了關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)知識和能力方面得以提高之外，還關(guān)注傳承數(shù)學(xué)文化方面的工作。比如，結(jié)合方程或者不等式的內(nèi)容解應(yīng)用題時，要對方程或者不等式的內(nèi)容進一步挖掘其文化內(nèi)涵，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。

本研究結(jié)合筆者在克拉瑪依市第七中學(xué)的教學(xué)情況，針對目前應(yīng)用題教學(xué)難的問題，通過查閱國內(nèi)外文獻等相關(guān)資料，提出了怎樣提高初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題水平的策略。筆者在實驗研究之前，制定了解題策略訓(xùn)練的時間計劃表、策略訓(xùn)練14課時的導(dǎo)學(xué)案、策略訓(xùn)練所需要的試卷3份（用于前、中、后三個實驗時間段對策略訓(xùn)練有效性進行測試）。實驗報告的數(shù)據(jù)顯示，策略訓(xùn)練對解題水平提高具有實效性。解題策略訓(xùn)練即可以促進應(yīng)用題水平的提高，同時也提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，并為初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習打下扎實的基礎(chǔ)。

1.3研究的意義1．經(jīng)過搜集、整理近6年疆內(nèi)外部分中考試卷發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題漸漸形成以我們的生產(chǎn)、生活等實際問題為發(fā)展方向，這種命題風格也是應(yīng)用題在未來的發(fā)展趨勢所在。應(yīng)用題作為解決實際問題的重要工具，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一。培養(yǎng)用理論知識解決現(xiàn)實應(yīng)用問題的能力，不僅會提高學(xué)生分析問題的階梯能力，還會使學(xué)生思維得到良好的鍛煉。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)用題不僅起到提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平的作用，也能夠通過出題思路和豐富多彩的題目內(nèi)容，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習興趣，更能夠?qū)��?shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活緊密的聯(lián)系起來，提高學(xué)生分析并解決實際問題的能力，縮短了學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，讓數(shù)學(xué)從課堂走出來，進入到學(xué)生的生活，使數(shù)學(xué)這種基本工具，在解決實際問題擁有絕對的優(yōu)勢地位。

其次，應(yīng)用題將多個知識點整合在一起，讓學(xué)生在解題的過程中加強對以往所學(xué)的知識的利用，得出最合理的解題思路、方法。同時加深了多個數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠熟練的對知識點（如公式、定理、規(guī)律、解題模式識別等）的綜合運用。以此為基礎(chǔ)，靈活地出題、解題中使學(xué)生處于在思考的過程，使得學(xué)生學(xué)會了需要掌握的知識，更學(xué)會了正確的學(xué)習方法。在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程中，有利于發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力、創(chuàng)新精神，而且，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性。

總之，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要使得學(xué)生邏輯思維能力和分析問題的技巧有所提高，要使得學(xué)生自主解決問題的能力得到培養(yǎng)提升，要使得學(xué)生形成從不同角度認識問題的習慣，有賴于在教材中、教學(xué)中加大對應(yīng)用題的重視力度，

2．筆者寫本論文的思想是，在教學(xué)中不斷對學(xué)生加強元認知意識的滲透，從兩個方面去做：一是教師提高元認知意識；二是注重對學(xué)生進行元認知意識的培養(yǎng)。實驗方法上，依據(jù)梅耶(Mayer)的解應(yīng)用題思維過程的四階段理論并結(jié)合波利亞解題表思想。借鑒模式識別策略等前人的研究基礎(chǔ)，具體操作上首先是通過實驗進行設(shè)計《應(yīng)用題解題思維策略的訓(xùn)練》共計14課時，再在教學(xué)中實驗、實踐。在訓(xùn)練結(jié)束并得到結(jié)論之后，筆者將運用強化過的解題策略知識，并在遵循遺忘曲線的基礎(chǔ)上，在以后的教學(xué)中以每天一練（8到10分鐘不同類型的應(yīng)用題）一學(xué)期，并適當給予學(xué)生物質(zhì)或精神上的獎勵，增強學(xué)生自信心、自豪感。使得筆者所帶的班級學(xué)生迅速適應(yīng)，并能掌握初中八年級階段的基本應(yīng)用題題型及解題的思維模式，在幫助學(xué)生克服應(yīng)用題心理障礙方面取得較好的效果。同時不斷的設(shè)計更多的豐富多采的實際問題，加強引導(dǎo)學(xué)生從身邊的問題研究，主動搜集—現(xiàn)實的、有意義的、富于挑戰(zhàn)的‖問題作為學(xué)習材料，并且更多的進行數(shù)學(xué)活動和互相交流，在主動學(xué)習、探究學(xué)習的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力。第二章文獻綜述

2.1數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略在國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀

經(jīng)過查閱期刊、教學(xué)論文、教學(xué)雜志等方式，進行搜集、整理�？蓪㈥P(guān)于—數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略在國內(nèi)外的研究‖現(xiàn)狀，梳理如下：

1．問題的表征策略

國外研究：著名的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》[5]一書中，通過—怎樣解題表‖，說明了解題的四個階段，即—弄清問題‖—制定計劃‖—實現(xiàn)計劃‖和—回顧‖。四個階段主要是：弄清問題，解題要了解未知數(shù)是什么、已知數(shù)是什么、已知條件是什么、利用各種不同的表征方式等等；制定計劃，利用重新敘述題目的方式、回到定義或者參考之前類似的題目的解法等方法制定計劃，不僅要實現(xiàn)求解計劃，而且要檢驗每一個步驟；回顧，檢驗論證并找出別的方法。波利亞希望通過普遍性和一般性的問題幫助教師進行解題的數(shù)學(xué)，并讓學(xué)生把問題變成自己的思維習慣，從而成為一個獨立的解題者。Hayes[6]則提出了六階段策略:辨明問題、表征問題、計劃解答過程、執(zhí)行計劃、評價計劃、評價解題過程。

國內(nèi)研究：在國內(nèi)，教師在應(yīng)用題的教學(xué)上投入了很多時間和精力，但收效不明顯。應(yīng)用題在思維過程中具有抽象性，要經(jīng)過以下幾個步驟：即閱讀問題、分析問題、假設(shè)問題、計算、和檢查計算的結(jié)果，看是否符合題意。關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的分類及教學(xué)功能[7]，汪國華等人按照數(shù)學(xué)應(yīng)用題本質(zhì)不同并將其分為全真應(yīng)用題、仿真應(yīng)用題、偽真應(yīng)用題。一、全真應(yīng)用題指來自學(xué)生能直接接觸到的沒有經(jīng)過人為改造的各類數(shù)學(xué)問題。它的特征是不經(jīng)過任何人為加工改造。二、仿真應(yīng)用題指的是來自實際生活或著是具備實際背景，但卻是學(xué)生很難甚至不可能直接接觸到的或經(jīng)過改造與精心設(shè)計的一類數(shù)學(xué)問題。三、偽真應(yīng)用題是指不是來自學(xué)生的實際生活且不具備實際應(yīng)用背景的一類數(shù)學(xué)問題，帶有人為設(shè)計的色彩。汪國華認為這三類應(yīng)用題具有不同的教學(xué)功能，第一，全真應(yīng)用題用來作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識最佳;第二，仿真應(yīng)用題在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識方面不太明顯，但用來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力比較適合;第三，偽真應(yīng)用題可以用來訓(xùn)練學(xué)生的解題技巧。作者主張抑制偽數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)，提倡采用全真應(yīng)用題和仿真應(yīng)用題進行應(yīng)用題教學(xué)是當務(wù)之急。認知模式解應(yīng)用題[8]，施鐵如認為對—問題辨認的正確與否‖，對—使用的方法合適與否‖具有指引、導(dǎo)向的作用，并決定了—解題結(jié)果的正確與否‖。在辨認的過程只有去除無關(guān)的語義信息，抓住關(guān)鍵的量的關(guān)系，抓住關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)，才會認準所要解決問題的模式。通過變式訓(xùn)練可以達到對這種辨認能力的提高。

2．模式的識別策略

國外研究：—模式識別過程就是感覺信息與長時記憶中的項目有著最佳匹配的過程‖。在認知心理學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)提出了模板說、原型說和特征說等知覺模式識別理論模型[9]。塞蒙曾提出，—通過專門訓(xùn)練被試如何去再認的能力，有可能促進他解決課題。[10]‖在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題中，對應(yīng)用題進行歸類、模式識別實驗發(fā)現(xiàn)，當學(xué)生在頭腦中具有應(yīng)用題問題的許多模式，如工程問題、概率問題、路程問題、盈利問題、濃度問題等，那么這種模式的識別，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題的表征過程中有著至關(guān)重要的作用。

國內(nèi)研究：我國研究者施鐵如認為[11]—學(xué)生要正確解題，總是要認出某種熟悉的東西（即模式）‖、—問題解決的實質(zhì)就是模式的識別‖；施鐵如通過對初一年級兩組學(xué)生的對比研究發(fā)現(xiàn)，在解數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，能否識別應(yīng)用題的類型是認知模式主要表現(xiàn)形式，能否正確辨認問題的模式?jīng)Q定了被試能否順利解決問題。在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的日常教學(xué)中進行識別類型的訓(xùn)練，有利于學(xué)生解題技能的形成、解題技巧的提高，進行模式識別策略訓(xùn)練要通過—選擇有多種變式的習題加以練習‖來實現(xiàn)。

3．認知結(jié)構(gòu)及圖式策略

國外研究：—認知圖式‖是瑞士心理學(xué)家皮亞杰提出的認知發(fā)展理論的一個核心概念[12]。皮亞杰用圖式來對認知結(jié)構(gòu)進行描述。西門.菲沙大學(xué)教育學(xué)院基蘭.伊根教授[13]，對學(xué)校學(xué)習的數(shù)學(xué)知識定義了兩個概念，即方法性知識和結(jié)構(gòu)性知識。并通過研究指出：在解答應(yīng)用題時，學(xué)生容易建立方法性的認知圖式，而難于構(gòu)建結(jié)構(gòu)性的認知圖式。

國內(nèi)研究：對于解答應(yīng)用題的認知加工和認知圖式研究，劉廣珠[14]就學(xué)生解決分數(shù)應(yīng)用題的情形進行了實驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解決分數(shù)應(yīng)用題分為：算式表征、計算策略和內(nèi)部認知圖式。依據(jù)實驗結(jié)果，還得出良好的認知結(jié)構(gòu)在解應(yīng)用題中體現(xiàn)在三個方面：第一方面，在新的學(xué)習任務(wù)中，適當?shù)慕�立能起固定作用的認知結(jié)構(gòu)是學(xué)生必須的；第二方面，當用已有知識同化新知識的時候，對于新舊觀念的練習與區(qū)別要能清楚的分開；第三方面，已有的能起固定作用的觀念在學(xué)習者認知結(jié)構(gòu)中始終是不變的。

4．樣例教學(xué)與圖式形成策略國外研究：澳大利亞心理學(xué)家John.Swelter[15]認為，學(xué)生能夠成功的解決應(yīng)用題，主要是學(xué)生具有自動化的、相互聯(lián)系的知識基礎(chǔ)，也就是圖式的基礎(chǔ)。關(guān)于如何促進學(xué)生掌握圖式，Swelter指出傳統(tǒng)的先由教師講個例題，然后由學(xué)生做大量的習題的教學(xué)模式是效果較差的，學(xué)生的注意力集中在已知條件、未知條件、當前問題的狀態(tài)上，正因為如此他提出樣例學(xué)習法，即用解答好的例題，來幫助學(xué)生形成圖式。

國內(nèi)研究：朱新明和SimonC[16]的教學(xué)實驗證明，通過使用細致設(shè)計和排序的數(shù)學(xué)樣例,使按傳統(tǒng)方法需要三年才能學(xué)完的數(shù)學(xué)課程,通過樣例學(xué)習的方式,在兩年內(nèi)學(xué)完,而且沒有表現(xiàn)出學(xué)習上有什么缺陷。20世紀80年代以來，樣例學(xué)習引起了研究者的廣泛關(guān)注，且在實踐中了報告了較好的效果。

5．元認知分析策略

元認知這一術(shù)語最早由美國心理學(xué)家于弗拉維爾1979年正式提出。元認知是指個體對自己認知過程的自我覺察、自我評價、自我調(diào)節(jié)。元認知訓(xùn)練有助于開發(fā)學(xué)生智力，調(diào)動學(xué)生的主動性、自覺性，提高學(xué)生解決問題的能力。

國外研究：Alan和Hennie的實驗表明，元認知訓(xùn)練能提高學(xué)生的思維技巧[17]。Vimi和Philip的一項實驗表明，學(xué)生的元認知能力越強，成績越好[18]。為此，研究者們對元認知訓(xùn)練進行了許多研究，它至少有四種訓(xùn)練方式，下而結(jié)合一些典型的實驗來加以說明:(1)他人提問訓(xùn)練法;[19](2);語化訓(xùn)練方法[20](3)自我提問訓(xùn)練法;[21](4)先行組織者運用法[22]。

國內(nèi)研究：張慶林等人[2324]對小學(xué)生表征應(yīng)用題的元認知分析進行了實驗研究，結(jié)果表明，學(xué)生在應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)表征和語句表征上，元認知監(jiān)控能力較低，但文字表征的監(jiān)控能力高于結(jié)構(gòu)表征的監(jiān)控能力。從優(yōu)、中、差生的比較說明，成績越好，元認知監(jiān)控和元認知控制的得分也越高，即元認知監(jiān)控是優(yōu)生經(jīng)常使用的認知策略。

6．數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題思維訓(xùn)練策略

怎樣培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力？這個問題一直是國內(nèi)外教育者最關(guān)心的重要問題。根據(jù)各種資料可以總結(jié)為兩種培養(yǎng)、訓(xùn)練方式：一種是直接培養(yǎng)方式，即開設(shè)思維課；另一種是間接培養(yǎng)方式，即把發(fā)展學(xué)生思維能力貫穿于各科的知識傳授過程中。開設(shè)思維課程，通過筆者搜集資料發(fā)現(xiàn)，直接培養(yǎng)的方式，具有一定的實效性，短期內(nèi)有效果，但要大面積促進學(xué)生學(xué)習，提高學(xué)業(yè)成績，還有賴于將思維訓(xùn)練長期化。以達到更好的效果。第一種，例如：德波諾的《柯爾特思維教程》[25]最為著名，它由六個部分組成，每個部分又分為十課，共六十課�！犊聽柼厮季S教程》的每一部分都有一個明確的思維技能訓(xùn)練目的，并且每一課都是通過一個專門設(shè)計的課題，讓學(xué)生分組練習，掌握一種具體、可操作的思維工具。在這六個部分中，—第一個部分是全部課程的基礎(chǔ)，其它五個部分可以按作者提出的順序教，也可以根據(jù)不同的教學(xué)目標，經(jīng)教師重組后，組合教練�？莆念D的創(chuàng)新性思維教程等也是這類課程。

另一種是結(jié)合應(yīng)用題教學(xué)，開展有關(guān)解題思維策略的訓(xùn)練�，F(xiàn)代認知心理學(xué)家通常將解題的思維過程分成階段，并且提出各階段的思維策略。例如，梅耶(Mayer)的解應(yīng)用題思維過程的四階段理論，如：梅耶[26]理論中指出，解答應(yīng)用題的思維過程可以分為四個階段:表征問題、問題綜合、制定和調(diào)整解答計劃、執(zhí)行解答計劃；Mayer將應(yīng)用題的解決過程分為四個基本過程，即轉(zhuǎn)化過程、了解過程、計劃過程、執(zhí)行過程。

2.2國內(nèi)外應(yīng)用題解題策略研究的不足

雖然國內(nèi)外對數(shù)學(xué)應(yīng)用題在解題方法、策略上的研究取得了眾多的結(jié)論，并且在研究的數(shù)據(jù)上日趨精密，但根據(jù)筆者通過對資料的整理發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題解題策略的研究都是僅僅針對某一方面進行的不夠系統(tǒng)的研究。是什么造成的呢？是由于研究缺乏系統(tǒng)性造成的，從兩方面分析：一方面不同時期、不同層次水平的研究者選取的被試者、題目類型、研究手段不相同；另一方面，研究者由于工作的種種因素，使得研究缺乏系統(tǒng)性，沒有持久性。國外諸多的研究者對—應(yīng)用題教學(xué)‖的研究不僅表現(xiàn)在一般解法和策略上，同時也非常注重對解題過程的研究。由于收集文獻所限，還不了解國外對初中應(yīng)用題教學(xué)的近期研究情況

第三章相關(guān)概念界定和理論依據(jù)3.1數(shù)學(xué)應(yīng)用題1．數(shù)學(xué)應(yīng)用題的概念

應(yīng)用題是指：—用簡單或復(fù)雜的語言和文字描述相關(guān)事實，闡述某些數(shù)量之間的聯(lián)系，并通過審設(shè)列解驗答六步驟求解除某些未知量的題目。應(yīng)用題都有已知條件和所求問題。數(shù)學(xué)的應(yīng)用題具備以下三個要求：1)條件之間、條件和問題之間不能相互矛盾；2)給出的條件必須充分，一定要能從已知條件求出未知的量；3)已知條件之間沒有任何的聯(lián)系，不能互相制約和互相推出彼此。[27]從數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)的形式來看，應(yīng)用題有狹義和廣義之分。我們將在題目中明顯地表現(xiàn)出來，比如用命題的形式加以表述，包括證明類問題、求解類問題等的這一類數(shù)學(xué)問題稱之為狹義的數(shù)學(xué)問題。在數(shù)量關(guān)系和空間形式中出現(xiàn)的困難和矛盾稱之為廣義的數(shù)學(xué)問題。

從數(shù)學(xué)問題得出題方式及意圖來看，將數(shù)學(xué)問題分為純數(shù)學(xué)問題和實際問題。先從兩者的意義來談?wù)劊阂�、純�?shù)學(xué)問題是有關(guān)數(shù)學(xué)對象和方法的，脫離了實際背景，由簡明而又抽象的數(shù)學(xué)語言來表述；二、實際問題是人們在實際生活中所遇到的問題。在現(xiàn)實生活中，我們會遇到概率、工程、路程、利潤、促銷等一系列的實際問題，它們看似復(fù)雜，當我們對其進行簡化后可以轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題來求解，那么它就叫做數(shù)學(xué)應(yīng)用題。那么數(shù)學(xué)應(yīng)用題與純數(shù)學(xué)問題有那些聯(lián)系、區(qū)別呢？從兩個角度談?wù)劊阂弧��?shù)學(xué)應(yīng)用題與純數(shù)學(xué)問題同時來源于實際生活，同屬于數(shù)學(xué)問題，都需要運用數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來解決；二、純數(shù)學(xué)問題的抽象脫離了實際背景，徹底由數(shù)學(xué)語言和符號來表示，使學(xué)生比較直觀的理解題目。數(shù)學(xué)應(yīng)用題只是把實際問題的復(fù)雜背景和復(fù)雜條件進行簡化，并且以一種具有數(shù)學(xué)意義的實際文字來表述，易于理解。

2．數(shù)學(xué)應(yīng)用題的分類

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題常見題型主要涉及有:概率應(yīng)用題、方程應(yīng)用題、不等式應(yīng)用題、函數(shù)類應(yīng)用題（初中包括了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）、統(tǒng)計應(yīng)用題、幾何應(yīng)用題等。通過筆者整理，查閱中考試題，發(fā)現(xiàn)近年來的應(yīng)用題，以上各種題型都有出現(xiàn)。

3.2研究的相關(guān)理論基礎(chǔ)1．元認知理論

弗拉維爾及其他研究者提出關(guān)于元認知的研究。通俗的說就是關(guān)于認知的認知，以人的認知操作的各方面作為研究的對象，對人的認知操作具有監(jiān)視、控制、調(diào)節(jié)的作用，人對自己認知活動的自我意識和自我調(diào)節(jié)是元認知的實質(zhì)。

在教學(xué)的實踐中，對于學(xué)生智力的開發(fā)，學(xué)生思維能力和問題解決能力的培養(yǎng)，起著重要的作用，處于較高地位。統(tǒng)攝作用在人的思維活動中占據(jù)著重要的位置。思維活動的核心就是統(tǒng)攝作用，它體現(xiàn)了元認知的主體地位，是判斷一個人發(fā)展成熟與否的標準。[28]元認知包括元認知知識、元認知體驗和元認知監(jiān)控三個組成部分，它們是相互聯(lián)系、密不可分的，它們之間的關(guān)系探討如下：[29]元認知知識主要包括:有關(guān)認知主體方面的知識，有關(guān)認知材料、認知任務(wù)方面的知識，有關(guān)認知策略方面的知識。認知的知識就是元認知的實質(zhì)，就是人們對于什么因素影響人的一種認知活動過程以及結(jié)果。

元認知體驗就是在認知的過程中的一種認知體驗或情感體驗。例如甲同學(xué)在考前準備比較充分，在情緒上表現(xiàn)為：穩(wěn)定和輕松，而考試中出現(xiàn)了某道難度較大的題，無法解決時，甲同學(xué)可通過自我心里的調(diào)節(jié)，保持良好的心態(tài)，從容面對，不影響其他題目的解答。元認知的體驗對知識表現(xiàn)為兩方面：一方面是知的體驗，另一方面是不知的體驗；在內(nèi)容上一方面可簡單化，另一方面也可復(fù)雜化，在經(jīng)歷時間上，一方面時間可長，另一方面也可短，可能發(fā)生在認知活動持續(xù)期間，也可能發(fā)生在認知活動以前或以后。

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題過程中，學(xué)習的主體學(xué)生，進行對問題認知活動時，元認知的監(jiān)控功能，可以在學(xué)生的潛意識里指揮著學(xué)生，對解題過程中分析題目、制定計劃、選擇解題方法等方面進行積極的、自覺的監(jiān)控和調(diào)節(jié)。學(xué)生一旦對自己的認知過程中，進行了及時的反饋、及時的修正、及時的調(diào)整。就會構(gòu)思出有高度、有水平的解決方案。

綜上，元認知對數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題能力有著不可忽視的作用，數(shù)學(xué)問題的解決的過程是創(chuàng)造性思維的過程，要使得學(xué)習的主體形成正確的解題思維方式，倚賴于發(fā)揮數(shù)學(xué)元認知方面的的統(tǒng)攝性作用、調(diào)節(jié)性作用和監(jiān)控性作用[30]。

(1)數(shù)學(xué)元認知知識的統(tǒng)攝作用

數(shù)學(xué)元認知結(jié)構(gòu)中的元認知知識主要由兩部分組成：一是指程序性知識、情境性知識、評價性知識在內(nèi)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗性知識；二是指數(shù)學(xué)核心思想、數(shù)學(xué)思維模式、策略性知識在內(nèi)的數(shù)學(xué)前提性知識。其統(tǒng)攝作用表現(xiàn)為以下幾點:

第一點，程序性知識具有控制作用

程序性知識是指如何運用數(shù)學(xué)技能的知識，在這里數(shù)學(xué)技能分為外部操作技能與內(nèi)部心智技能。而這種程序性知識，對解題活動起著控制作用。

第二點，情境性知識具有引導(dǎo)和支持作用情境性知識，就是條件性知識，即:在什么條件和背景下運用該數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)知識的知識。情境性知識一方面表現(xiàn)為引領(lǐng)解題方向，另一方面表現(xiàn)為活化思維活動。在它的引導(dǎo)和支持下，解題者能自覺地用組合式、構(gòu)造法去發(fā)現(xiàn)問題中的隱蔽關(guān)系，突破思維障礙。

第三點，數(shù)學(xué)核心思想具有調(diào)控作用

數(shù)學(xué)核心思想是指，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識的基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)觀念。在這里，—符號化與變元表示思想、集合思想、公理化思想、結(jié)構(gòu)思想‖是基本的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)觀念是基本數(shù)學(xué)思想內(nèi)化的表現(xiàn)，—化歸意識、推理意識、整體意識和抽象意識等‖是數(shù)學(xué)的觀念。在數(shù)學(xué)問題解決中，如果有數(shù)學(xué)核心思想來調(diào)控數(shù)學(xué)方法，則可以超越特定的環(huán)境、可以變化情景以適應(yīng)模式、可以變化模式以適應(yīng)情景。

第四點，數(shù)學(xué)思維模式具有規(guī)范作用

數(shù)學(xué)思維模式是對解題思維過程所作的程序化概括，依據(jù)波利亞—從例題到模式‖的分析，數(shù)學(xué)思維模式的形成要經(jīng)過原型、分化、類比、抽象、檢驗、概括等過程。數(shù)學(xué)思維是一種用數(shù)學(xué)方法解決問題的思維習慣，首先一點：任何人都不是天生就具有這種良好的思維習慣，都是靠后天努力的。要想形成這種良好的數(shù)學(xué)思維，就必須有良好的學(xué)習習慣，同時數(shù)學(xué)是要靠積累的，只有平時大量練習，鞏固，總結(jié)，才會逐漸形成對題目的直覺（題感），這種感覺往往是迅速解題的根源。對于新題，有的人很快通過分析并解出來，有的人卻很難解出來就是這個原因，盡管所學(xué)知識相同。當然這種思維形成時間的長短要依據(jù)各種因素：平時注重積累，個人的智力水平，鞏固總結(jié)是否常態(tài)化等等

第五點，策略性知識具有啟發(fā)作用

策略性知識是如何使問題解決效果更好的知識，解題策略的作用就在于縮短解決問題的時間，提高解決問題的效率，影響問題解決的主要因素有以下三個方面:一是問題情境因素;二是學(xué)習者個人特征;三是認知策略。策略性知識的掌握需要經(jīng)歷三個階段：一是了解表征階段，在這個階段，策略性知識以陳述性的形式被學(xué)生學(xué)習，學(xué)生首先需要理解有關(guān)概念、規(guī)則、事實和解決數(shù)學(xué)問題的步驟等，并納入到個體的知識結(jié)構(gòu)中。二是知識轉(zhuǎn)化階段。這一階段通過多次應(yīng)用已學(xué)過的知識，使策略的陳述形式向策略的程序形式轉(zhuǎn)化。三是策略熟練應(yīng)用階段。策略性知識完全支配人的學(xué)習活動，可以達到自動化的水平。這說明，—策略‖在開始階段也具有外在的形態(tài)，經(jīng)由內(nèi)化過程而形成個體的策略性知識結(jié)構(gòu)。這就是策略性知識具有的啟發(fā)作用。(2）數(shù)學(xué)元認知體驗的調(diào)節(jié)作用

數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決中的元認知體驗，主要包括伴隨主體活動的自覺意識或情感驗，其調(diào)節(jié)作用主要反映在以下方面:

第一方面，我們在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，經(jīng)常感覺到的一種元認知體驗就是懷疑感，就是一種提出疑問的情緒體驗，這種認知體驗是許多問題的突破和數(shù)學(xué)新思想的誕生的源頭，激活數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，選擇合適的解題策略。這就是元認知體驗中的激活策略。

第二方面，數(shù)學(xué)問題解決的元認知知識體驗貫穿在問題解決過程的每個階段，對每一階段都要求主體事前有計劃，事后有評價，通過自我教育豐富自己的數(shù)學(xué)元認知知識，促進其智力的發(fā)展。這就需要我們在解題中改組數(shù)學(xué)元認知知識。

第三方面，研究表明，從問題的提出到問題的解決，其間會有許多失誤與失敗，這些挫折、困難、失誤與失敗會在解題者心理上表現(xiàn)出相應(yīng)的元認知體驗。這一點說明數(shù)學(xué)問題的解決是一個創(chuàng)造性思維過程。它可以促使主體對原有的構(gòu)想和目標進行修正或重新確立，制訂切實可行的解題計劃和目標結(jié)構(gòu)。

(3)數(shù)學(xué)元認知的監(jiān)控作用

數(shù)學(xué)元認知的監(jiān)控作用是通過數(shù)學(xué)元認知的知識和體驗的相互作用來實現(xiàn)。在解題中，解題者的顯性與隱性思維的思維相互使用是圍繞目標而進行的，記憶的探索、假設(shè)的提出也是圍繞著目標而展開的，因此數(shù)學(xué)問題解決的心理活動總是由學(xué)習主體的元認知意識控制著，被解題的目標支配著。元認知監(jiān)控主要有三個方面的作用和功能。在解題過程中，這三個方面的知識是相互影響的，共同促進學(xué)生的成功解題。

第一方面，定向作用

定向就是當學(xué)生能夠?qū)�問題解決中的思維方向進行監(jiān)控，也就是對課題的性質(zhì)與難度、待證命題的正確性、思維指向的恰當與否作出估計與評價。解決問題之前，必須先理解它、解釋它，通過對它進行定向，來理解題意，要做到這幾點。首先要從整體著手，再把問題分解為多個部分，最后把各個部分的屬性聯(lián)系起來，這個過程就是分析綜合過程。

第二方面，控制作用

控制即對問題解決進程進行監(jiān)控。對思維進程不斷地進行自我激勵，自我評價。思維進程的控制表現(xiàn)為對正確的思維活動要給予激勵；對思維活動中的錯誤要及時覺察、糾正和彌補。如：對問題的整個過程進行綜合分析，進一步認識題目基本結(jié)構(gòu)、屬性和特征；通過綜合，完整地、全面地認識題目中的聯(lián)系和規(guī)則，整體把握條件和目標的關(guān)系�？紤]已知條件、未知條件，假設(shè)結(jié)論，

必要時可以對問題重新進行描述，使其變成學(xué)習者熟悉的問題，從而更接近目標，在解題時盡可能—繪制一張圖‖、盡可能—列一個表格‖、—引入適當?shù)姆�號‖、—回到定義去‖，正是這種調(diào)節(jié)作用，才使思維活動成為一種有整體觀念、有目的、有控制的組織活動。

第三方面，調(diào)節(jié)作用

調(diào)節(jié)就是指對思維活動進行監(jiān)控的方法。當學(xué)生遇到數(shù)學(xué)實際問題時，該怎樣著手、怎樣計劃、怎樣思考、如何篩選模式、怎樣整合已知條件、怎樣預(yù)測解題等制定做題規(guī)劃。因為解題思路的產(chǎn)生往往從直覺開始，題目信息對學(xué)習者的刺激促使其使用已有知識、經(jīng)驗再現(xiàn)，并使其對解題思路作大膽的設(shè)想、猜測。這一點要求學(xué)生在學(xué)習過程中，要善于對問題中的每一個信息點做出準確的判斷和分析，調(diào)動已有的知識、解題模式儲備，選擇恰當?shù)慕鉀Q問題的策略，控制自己的思維方向。波利亞解題表中，波利亞是圍繞—怎樣解題‖、—怎樣學(xué)會解題‖來開展數(shù)學(xué)研究的，這表明其對—問題解決‖啟發(fā)式、誘導(dǎo)式的突出強調(diào)。在解題訓(xùn)練中，筆者帶動和學(xué)生一起用波利亞解題表的思考方式、提問方式接近問題的答案。[31]

第四章初中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的現(xiàn)狀研究

培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的重要手段就是應(yīng)用題教學(xué)。運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本內(nèi)容和重要途徑就是培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力。從近幾年的中考題也可以看出，考試中的應(yīng)用題在取材上相較于以前更加廣泛，題目的背景也更加貼近學(xué)生的實際生活，這些變化給我們的教師在應(yīng)用題教學(xué)上又提出了更高的要求.這就要求教育者首先清楚學(xué)生解決應(yīng)用題的現(xiàn)狀。因此，筆者設(shè)計了系列調(diào)查問卷來研究這個問題。具體如下：

4.1調(diào)查的目的、對象、方法1．調(diào)查目的

由于各種因素的影響，目前我們的學(xué)生在應(yīng)用題解題能力上卻存在著很多的問題，這些問題的存在不但影響著學(xué)生的考試成績，更影響著學(xué)生數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的提高。為了考察、分析、探索當前初中生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題方面的學(xué)習動機、學(xué)習興趣、學(xué)習方法，筆者設(shè)計了本套調(diào)查問卷。并以教學(xué)現(xiàn)狀的自我評價和學(xué)生學(xué)習方法的不足作為著手點進行研究。對學(xué)習中存在問題的因素分析加以整理、提取，進一步探索中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習策略。

2．調(diào)查對象

普通中學(xué)(克拉瑪依市第七中學(xué))初中八年級學(xué)生共計450名和數(shù)學(xué)教師24名。3．調(diào)查方法(1）問卷法

本文的問卷采用兩種形式：第一種形式采用封閉式問卷，調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習動機、學(xué)習興趣、學(xué)習方法。學(xué)生必須從所提供的選項中選出一項；問卷的第二部分采用測試卷的形式進行測試，可以深入了解學(xué)生在解題中的思維狀況和解題能力。

(2)訪談法[32]

本文在研究中，通過問卷和測試卷反映的情況，選擇出有典型代表的個別學(xué)生進行訪談，進而了解學(xué)生在解應(yīng)用題方面存在哪些問題。

4.2調(diào)查過程1．編制問卷[33]

筆者在確定研究主題后，通過查閱書籍、期刊、上網(wǎng)等方式搜集資料，并對國內(nèi)外相關(guān)研究資料和成果進行梳理。為編制調(diào)查問卷做好了充分的準備工作。問卷中涉及了初中生數(shù)學(xué)學(xué)習動機、數(shù)學(xué)應(yīng)用題學(xué)習動機、興趣、方法四個方面的問卷，以便于更好地了解學(xué)生的學(xué)習心理及興趣等。問卷中的測試題都是學(xué)生可以用已有知識來解答。前測和后側(cè)的測試題，是以八年級以及八年級以前所掌握的知識點來命題的。在題目的選擇上，筆者是兩個角度來考慮的：一個角度是題目要能反映出筆者想要測試內(nèi)容的目的性；另一個角度考慮的主要是想讓被試者經(jīng)歷從易到難的一個過程，不讓學(xué)生或者少讓學(xué)生在測試時產(chǎn)生抵觸情緒而不認真，導(dǎo)致測試卷失去有效性、真實性。

2．實施過程

第一部分針對學(xué)習數(shù)學(xué)的動機以及應(yīng)用題的興趣、動機、方法四個方面通過問卷調(diào)查進行了解。從多個角度了解學(xué)生的真實想法。對數(shù)學(xué)教師采用問卷調(diào)查及訪談，問卷中一部分題目與學(xué)生相仿，以便比較；一部分題目側(cè)重了解應(yīng)用題教學(xué)情況。第二部分為—數(shù)學(xué)應(yīng)用測試題‖，共5題，主要選取工程題、行程題、濃度題、函數(shù)題。設(shè)計有簡單題、中等難度題和難題。為了了解在解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題過程中的思維方式，本研究要求被試者按照閱讀、分析、假設(shè)、計算、檢查5個步驟去解答應(yīng)用題，并在解答完后，報告自己的思維過程。

對第二部分預(yù)測成績的計分方法：

每讀完一道題，需要對題目的難度和自己的解答先做預(yù)測。A：容易，可以解決B：難，不能解決

每做完一道題，需要對正確性進行預(yù)測。A）完全正確B）錯誤的

評分標準：根據(jù)學(xué)生的選擇和實際的解答情況進行評定。若預(yù)測和實際結(jié)果完全相符，記2分，若預(yù)測和實際結(jié)果完全不相符，記1分。

4.3調(diào)查結(jié)果與分析

4.3.1—數(shù)學(xué)應(yīng)用題‖學(xué)習動機和學(xué)習興趣的分析

根據(jù)以上的調(diào)查，客觀地反映出初中生在本階段具有的特征和存在的問題。下文就從—中學(xué)生數(shù)學(xué)思維特征‖和—問卷調(diào)查數(shù)據(jù)分析‖兩個方面來探討：

(1)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的特征分析

正處于急速生長發(fā)育期的中學(xué)生，由于年齡特征決定他們具有思維的敏銳性、不成熟性、可訓(xùn)練性。1）敏銳性第一、記憶力強

少年進入初中后伴隨著大腦皮層飛速發(fā)育，學(xué)生思維發(fā)育的高峰時期到來了，記憶力也特別強。大量的信息的記憶僅需要他們較短的時間，并可以持久保持。即使暫時失去了對某些信息的記憶，在很快的時間里很容易恢復(fù)，甚至成為永久記憶。這對教師的教學(xué)有很大的好處，對學(xué)生思維的形成也極為有益。

第二、反應(yīng)速度快在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，思維敏捷這方面表現(xiàn)為學(xué)生從外界提取信息，并處理信息的速度快，學(xué)生對基礎(chǔ)知識和能力建構(gòu)的本領(lǐng)，也在此決定了。

第三、思維的角度新

在教師的教學(xué)中，經(jīng)常在對問題進行分析、討論時，能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往與教師以不同的角度分析問題時，取得較好的效果。中學(xué)生在考慮問題時，受到所謂—經(jīng)驗‖模式影響小，體現(xiàn)在中學(xué)生的思維具有發(fā)散性。這是由中學(xué)生的年齡和心理特征決定的，能考慮到老師沒考慮到的細節(jié)，他們的思維是發(fā)散的，也就能夠發(fā)現(xiàn)很多別人沒有發(fā)現(xiàn)的東西，因此老師要因勢利導(dǎo)、循循善誘，學(xué)生才能不斷的積累經(jīng)驗、才能提升自己的思維層次，不固化思想。

2）思維的不成熟性

中學(xué)生年齡小、閱歷不豐富且知識面狹窄，心理機制發(fā)育還不完善決定了他們思維的不成熟性。比如在遇到問題時，審題出現(xiàn)誤解時，不能及時發(fā)現(xiàn)且沒有較強的檢查意識。當然，這一點可通過多做題、多積累經(jīng)驗來緩解這一現(xiàn)象。

第一、思維的發(fā)散性

思維的發(fā)散性，從實驗及問卷調(diào)查的分析可發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維具有無目的性。無目的的思維即思維混亂，遇到問題不知道怎么解決，只有學(xué)生通過大量的思考、分析才能得出正確的解決問題的方法。

第二、思維層次不高

在教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)對于公式、定理學(xué)生都能記住，也可反復(fù)演練一些難度不大的課堂練習，可是一旦碰到難度大，綜合性強的題目時，學(xué)生感到很茫然以至于找不到著手點，這說明學(xué)生的思維層次不高，這一點將成為教師在教學(xué)中以及學(xué)生在學(xué)習中要解決的問題。

第三、思維的片面和不系統(tǒng)性

在教學(xué)中，知識點環(huán)環(huán)相扣。橫向知識與縱向知識交織成一個系統(tǒng)性強的知識體系。在教與學(xué)的過程，教材將知識體系分成不同的章節(jié)、不同的學(xué)習時間段進行分步學(xué)習。

也導(dǎo)致了學(xué)生對所學(xué)知識不能從全局進行把握，失去了系統(tǒng)性、全面性。學(xué)生對所學(xué)知識的不系統(tǒng)性、不全面，使得學(xué)生在解題時對已學(xué)知識的熟練程度不同以及知識盲點也止一個。

3）數(shù)學(xué)思維的可訓(xùn)練性數(shù)學(xué)思維是與事物的模型和具體形象相互聯(lián)系、相互影響的。學(xué)生的認識結(jié)構(gòu)、已有的經(jīng)驗和非智力因素對數(shù)學(xué)思維狀況的影響是交互作用的。所以，數(shù)學(xué)思維必須依賴于數(shù)學(xué)教學(xué)來實現(xiàn)。

第一、學(xué)生的認識結(jié)構(gòu)

認識結(jié)構(gòu)說的是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認識，包括對概念、規(guī)律、定理、公式等的記憶狀況和學(xué)生大腦對數(shù)學(xué)知識的組織狀況。學(xué)生在學(xué)習過程中及思考過程中，會靈活運用這些知識是數(shù)學(xué)教學(xué)是否達標的考核點。只有老師在教學(xué)中，把握全局，從整體出發(fā)進行教學(xué)，使學(xué)生掌握各種知識點和各中數(shù)學(xué)思想方法。

第二、已有的經(jīng)驗

數(shù)學(xué)問題解決包括大量的判斷和分析活動，它要求常用的題方法、解題模式的運用能由被動變?yōu)橹鲃�，調(diào)動已有的知識、解題模式儲備，選擇恰當?shù)慕鉀Q問題的策略。數(shù)學(xué)問題解決也要求學(xué)生的實踐經(jīng)驗隨著知識面拓廣不斷豐富，思維狀況更加合理、敏捷。

第三、非智力因素

非智力因素因素與先天條件有關(guān)，但也需要后天的訓(xùn)練、培養(yǎng)、教育。這指的是注意力，意志、態(tài)度、動機、情緒等。這些非智力因素，影響表現(xiàn)為學(xué)生學(xué)習應(yīng)用題的積極性上。學(xué)習積極的學(xué)生，在學(xué)習中表現(xiàn)為認真、主動、頑強、投入的心理狀態(tài)；不積極的學(xué)生在學(xué)習中常常表現(xiàn)為思考不積極、不善于動腦筋。思維有惰性，注意力不集中。

所以，要使中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到深化，唯一的途徑就是學(xué)習數(shù)學(xué)知識要有完整性。

通過實踐的不斷加強發(fā)現(xiàn)，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)地位顯得尤為重要。教師科學(xué)的引導(dǎo)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到不斷的發(fā)展和提高。

（2）問卷調(diào)查的結(jié)果數(shù)據(jù)分析

通過調(diào)查問卷，對數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述。得出：近85%的中學(xué)生對—數(shù)學(xué)在解決日常間題時有用‖持肯定態(tài)度.對中學(xué)階段學(xué)習—數(shù)學(xué)應(yīng)用題‖的目的，65%的中學(xué)生認為是—今后工作、生活中需要‖，可以—增加知識面，提高解題能力‖�？梢妼Α獢�(shù)學(xué)應(yīng)用題‖的教學(xué)目的，仍有再認識的必要.對—解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的興趣‖，僅有72%的初中生表示很有興趣，38%的初中生表示不感興趣。對—解其它數(shù)學(xué)題的興趣‖，70%的初中生均表示感興趣或比較感興趣，說明學(xué)生對解數(shù)學(xué)—常規(guī)題‖與—應(yīng)用題‖的興趣程度有明顯差異，應(yīng)引起注意。調(diào)查中根據(jù)學(xué)生列舉的對解1)對—數(shù)學(xué)應(yīng)用題‖有興趣或無興趣的原因，可歸納如下:第一、應(yīng)用題比較接近生活，對我是一種挑戰(zhàn)。第二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題能鍛煉人的思維和分析推理能力。

第三、應(yīng)用題涉及面廣，拓寬大腦的思考能力和判斷能力，開發(fā)智力，實用性強。第四、數(shù)學(xué)使實際問題變得明確簡單。

第五、對應(yīng)用題接觸太少，能力差，一做題就遇到困難，無法進入解題狀態(tài)。第六、語文水平低，不愿讀下去，勉強讀完也讀不懂.

第七、學(xué)過的概念、公式、方法到解應(yīng)用題時用不上，找不到數(shù)學(xué)關(guān)系式。第八、厭惡計算的機械操作和繁瑣步驟，欣賞數(shù)學(xué)的純理論，抽象推理論證。4.3.2初中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的障礙分析

從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐以來，筆者看到一些相當努力的學(xué)生，在數(shù)學(xué)學(xué)習上花了許多時間與精力，卻因為所謂的—慌張‖，把自己本來應(yīng)該能做對的題目做錯。遇到較復(fù)雜的題目就束手無策，缺乏想象力、缺乏變通能力，只會做自己熟悉的題，對題型的變式不善于解決。學(xué)習興趣屢屢受挫。依據(jù)心理學(xué)的原理[34]可歸結(jié)為以下幾個方面:

（1）生活經(jīng)驗不足，是造成初中生解應(yīng)用題難的原因之一；缺乏批判性思維。評價意識薄弱，遇到問題沒有主見，不善于提出問題和發(fā)表不同的看法，更無評判自己提出的假設(shè)或解題方法是否合理的意識。

（2）閱讀文字以及理解文字能力不足，造成初中生解應(yīng)用題難。對已知條件、隱含條件的理解不夠深刻，對數(shù)學(xué)方法認識膚淺，不能深入地鉆研與思考問題。許多學(xué)生對教材的重點難點不甚清楚，對概念以及題目的理解不全面、不深刻，不善于挖掘概念之何的聯(lián)系與區(qū)別。有的學(xué)生在對習題所給的已知條件和結(jié)論還沒準確把握的情況下就匆忙下筆。

（3）對應(yīng)用問題的分析方法和技巧有所欠缺。造成思維不夠深刻、不夠靈活。不少學(xué)生經(jīng)常受思維定勢束縛，沒有養(yǎng)成從不同角度觀察、分析問題的習慣，不能根據(jù)客觀條件的變化，及時調(diào)整思維方向。

（4）解題中自我監(jiān)控能力低，學(xué)習的主動積極性不高。有些學(xué)生認為聽課即學(xué)習，聽老師教授的課程以及完成老師布置的作業(yè)就能學(xué)會知識，完成任務(wù)就行了，至于對知識的是否掌握，作業(yè)是否正確，壓根不管。反饋活動由老師一手包辦，一切學(xué)習活動都已被安排好，學(xué)生缺少回顧和反思的機會。思維不開闊，缺乏敏捷性，不能多角度地思考問題，不善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的已知和未知，找不出解決問題的多種方法，更談不上把它推廣到類似的問題上去。

（5）傳統(tǒng)的教學(xué)模式中也暴露出幾個問題：1）教師注重知識的傳授和題目的解答，不夠重視思維能力的培養(yǎng)；2）教學(xué)教材內(nèi)容的單一也導(dǎo)致應(yīng)用題訓(xùn)練力度不夠大。數(shù)學(xué)問題意識比較薄弱。許多學(xué)生缺失提問的愿望，缺乏提出問題的策略，不善用自己的語言或相應(yīng)的圖形，提出有價值的數(shù)學(xué)問題。

總之，思維缺乏創(chuàng)造性，不能獨立地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，不善于聯(lián)想及打破常規(guī)去思考問題，探索不出新命題等。致使學(xué)生在遇到問題時，無法提出問題和發(fā)表不同的看法，缺乏評判自己提出的假設(shè)或解題方法是否正確的意識。

第五章提高初中生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題水平的實驗設(shè)計5.1實驗?zāi)康�、對�?．實驗?zāi)康?/p>

學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)，是教育工作者所關(guān)心的問題。怎樣訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，可以總結(jié)為兩種訓(xùn)練、培養(yǎng)方式:一種是直接培養(yǎng)，即開設(shè)思維課;另一種是間接培養(yǎng)，即把發(fā)展學(xué)生思維能力貫穿于各科教學(xué)的知識傳授過程中。在總結(jié)國內(nèi)外研究的基礎(chǔ)，并在教學(xué)中實踐波利亞解題表，筆者與同組另一名老師，提出了解決向題的三個階段思維策略:第一表征問題、第二解答問題、第三思路總結(jié)。此基礎(chǔ)上進一步編寫了《應(yīng)用題解題思維策略訓(xùn)練》。

本實驗嘗試運用該系列教程，設(shè)立實驗班和對比班。采用對比研究的方法，對八年級學(xué)生進行教學(xué)試驗，結(jié)合學(xué)科教學(xué)，探討進行思維策略訓(xùn)練是否具有有效性，得出合理的、有效的結(jié)論。以提高學(xué)生解決實際應(yīng)用問題的能力。

2．實驗對象

普通中學(xué)(克拉瑪依市第七中學(xué))八年級學(xué)生共計400名和數(shù)學(xué)教師24名。被試選取克拉瑪依市第七中學(xué)初二年級學(xué)生，根據(jù)學(xué)校老師對有關(guān)情況的介紹而選出各方面條件相近、成績相當?shù)膬蓚�班作為實驗組和普通組(各由一名老師主講)，共82名學(xué)生，男生44名，女生38名。實驗開始前先對兩組被試實施前測，根據(jù)前測成績高低及任課老師對有關(guān)情況的反映將實驗組劃分為不同層次的學(xué)生:優(yōu)等生17名(占42.5%)，中等生16名(占40.0%)，差等生9名(占22.5%);也將對比組劃分為三種層次:優(yōu)等生18名(占42.9%)，中等生15名(占35.7%)，差等生9名(占21.4%)。

5.2實驗過程設(shè)計1．編制問卷

通過查閱書籍、期刊、上網(wǎng)等方式搜集資料。問卷第一部分5道應(yīng)用題封閉式問卷（作為前測），第二部分5道應(yīng)用題封閉式問卷（作為后測）。前測和后側(cè)的測試題，是以八年級以及八年級以前所掌握的知識點來命題的。在題目的選擇上，筆者是兩個角度來考慮的：第一：題目要能反映出筆者想要測試內(nèi)容的目的性；另一個角度考慮的主要是想讓被試者經(jīng)歷從易到難的一個過程，不讓學(xué)生或者少讓學(xué)生在測試時產(chǎn)生抵觸情緒而不認真，導(dǎo)致測試卷失去有效性、真實性。

2．實施過程

在教學(xué)中，筆者共運用自編十四課時《應(yīng)用題解題思維策略訓(xùn)練》[35]對初二年級學(xué)生進行教學(xué)實驗，共七條策略:對比組在相同時間內(nèi)以不同次序講授同樣習題，不講策略。實驗組接受思維策略訓(xùn)練，由一名老師根據(jù)所編《訓(xùn)練》上課。對比組則由另一名老師運用傳統(tǒng)教學(xué)方法在和實驗組使用相同時間內(nèi)講授和實驗組相同的習題，不講思維策略，其他條件均與實驗組相同。實驗安排在初二年級第二學(xué)期期中考試之后進行，整個實驗持續(xù)15天，共14課時，每課時45分鐘。實驗前、后各安排一次測驗，由不參加實驗的數(shù)學(xué)老師出題，鑒于區(qū)分度的考慮，后測題略難于前測題。評分時為充分體現(xiàn)思維訓(xùn)練效果，防止出現(xiàn)評分信度問題，不給步驟分，各題不是零分便是滿分。

5.3調(diào)查結(jié)果分析

1．實驗組與普通組前、后測成績比較列表如下：表1-1

組別人數(shù)前測平均數(shù)前測方差后測平均數(shù)后測方差實驗組4059.5721.24362908.20對比組4256.191033.1157.62936.25表1-2

學(xué)生層次人數(shù)N%前測平均數(shù)前測方差后測平均數(shù)后測方差優(yōu)生1優(yōu)生217(37.5)18（38.1）87.0687.70850.841092.8588.2487.78785.181002.37中生1中生216（40）15（35.7）5046.66190.25179.5852.548572.125412.85差生1差生27（17.5）9(21.4)11.118.892440.252336.1615.5513.332226.221845.12從表1-1、表1-2的數(shù)據(jù)顯示：實驗組與普通組的實驗數(shù)據(jù)表明，

（1）優(yōu)、中、差三個水平學(xué)生的兩兩比較，在解題策略訓(xùn)練之前，進行的測試成績差異不顯著。（2）從解題策略訓(xùn)練之后的測試成績看，實驗組與對比組之間，優(yōu)、中、差學(xué)生層次水平之間均存在特別明顯的差異。這充分證明思維策略訓(xùn)練對不同層次學(xué)生均有效果。

（3）對中、差生來說，解題策略訓(xùn)練效果特別顯著。實驗的效果從表中可以看出，在短時間內(nèi)對八年級學(xué)生進行應(yīng)用題解題思維策略的訓(xùn)練是能夠提高學(xué)生的解題能力的，訓(xùn)練效果是明顯的，策略是可行的。

從表2的數(shù)據(jù)可知：

（1）優(yōu)生1的實驗效應(yīng)不及中、差生顯著，主要原因是：

1）、優(yōu)等生具備了良好的思維策略；解題過程中，表現(xiàn)的冷靜、自信，善于突破定向思維，進行大膽猜測、創(chuàng)設(shè)有利于解題的情景；

2）、優(yōu)等生在實驗前，對于科學(xué)的思維方法已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，促使學(xué)生在解題時更準確、更具有目的性的解決問題。

3）、優(yōu)等生的頭腦中已經(jīng)保存了很多的圖式模式，在解題時能迅速地篩選出各種所需要的模式來，促成解題的成功。這樣不僅省時間，而且能提高準確率；

（2）中生1的實驗效應(yīng)顯著，原因是在實驗前中等生本身具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，比如概念、規(guī)律、定理、公式的掌握，僅僅是在學(xué)習方法上、在思維策略上掌握的不夠牢固。經(jīng)過思維訓(xùn)練后，中等生能夠較好地掌握所傳授的策略，對于自然提高解題能力起了決定性作用。

（3）差生1的實驗效應(yīng)同樣顯著，并有力的證明了，對差生進行策略訓(xùn)練不僅有助于學(xué)生加深、鞏固概念、理解定理、牢記公式等的運用，又教會學(xué)生怎樣分析問題、怎樣解題，通過思維訓(xùn)練，使差生從不會解題到學(xué)會解題，從不會思考問題到學(xué)會思考問題。2．實驗研究中的個案分析

本研究是通過進行思維訓(xùn)練，并檢驗前后的測試成績，進行數(shù)據(jù)采集、計算、對比來完成的。為了使筆者所得的結(jié)論更具有客觀性，同時進一步討論八年級學(xué)生的解應(yīng)用題策略，筆者從實驗對象的三個層次里隨意抽取三名同學(xué)，讓被試者進行口語報告，便于了解學(xué)生的思維過程。過程是這樣進行的：前測之前，三名被試同時解同一道方程應(yīng)用題。后測之前也讓三名被試同時解同一道路程問題。

（1）前測個案分析被試者甲：

測試1：某文具公司銷售A、B兩種筆記本，去年共賣出12200本。今年A種筆記本的銷售量比去年多6%，B種筆記本銷售量比去年減少5%。兩種筆記本的總銷量增加50本。問去年兩種筆記本各賣了多少本?出聲的讀題目。

1、要求A、B兩種筆記本去年各賣了多少。可以用方程來解。2、己知去年賣的總數(shù)和A(今年)賣的(量)比去年多的百分數(shù)，B(今年)賣的(量)比去年少的百分數(shù)，而且知道總銷量(的增加量)。哦，這里有一個相等關(guān)系。3、題目中增加的50本是A增加的量與B減少的量的差，可以設(shè)去年A賣出的筆記本為x(本)，那么今年增多的量就是6%x，B去年賣的筆記本為12200－x，去年的減少量就是〔1220－0x)乘以5%,50本是今年增多的(量)。4、可以列出等式：6%x－5%(12200－x)=50通過計算可得x=6000,則x是去年A賣出的筆記本，B就是12200－6000=6200本。5、我再看看對不對，總數(shù)……（考慮中），沒錯了。明確要解決的問題，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。分析條件與結(jié)論，提出中間問題，并注意到解決問題的關(guān)鍵。分析解決中間問題的條件，并試圖為等量關(guān)系尋找—相等‖這一條件。輕松列出方程，計算。檢驗結(jié)果是否正確。

分析：優(yōu)生甲在解題過程中表現(xiàn)出的審題的策略符合我們的訓(xùn)練內(nèi)容。首先，甲在最短的時間分析出解題的目的，處理題目中已知條件與所求目標，以及所學(xué)過的知識之間的聯(lián)系掌控的非常嫻熟，并且能夠深刻的理解題目；其次，甲對已知條件和所求結(jié)論之間的量的關(guān)系能夠分析透徹，對已學(xué)數(shù)學(xué)知識的運用合理，對已知條件與中間條件建立正確的推導(dǎo)最終解決問題。從整個解題過程來看，甲生對解題過程有一種總體的掌控。每一步都顯得細致、精準。做的挺棒的。

被試者乙：測試1：某文具公司銷售A、B兩種筆記本，去年共賣出12200本。今年A種筆記本的銷售量比去年多6%，B種筆記本銷售量比去年減少5%。兩種筆記本的總銷量增加50本。問去年兩種筆記本各賣了多少本?出聲的讀題目

1、這一題要列方程解。先設(shè)A去年賣的筆記本數(shù)量為x本，那么今年賣的筆記本數(shù)量就是(l+6%)x本，B去年賣了多少呢……，噢，是12200－x（思考中…），總銷量增加50本，總銷量是指什么?（思考中…），B賣的比去年少5%，什么和什么相等呢？（思考中…）50本是怎么來的?應(yīng)該是今年的(銷售量)與去年的(銷售量)之差，那還得知道B今年賣的(數(shù)量)要分開來算。B今年賣的是(12201－x)(1－5%)，A和B的今年賣的總量就是(1+6%)x+(12200－x)(1－5%)，50本就是今年A和B賣的(總數(shù))跟去年(甲、乙鞋銷售總量)的差，應(yīng)該沒錯……2、可以列出等式：6%x5－%(12200－x)=50通過計算可得x=6000,則x是去年A賣出的筆記本，B就是12200－6000=6200本。分析已知條件，尋找建立等式的條件，分步驟完成。列式并計算

分析：被試乙相比被試甲的解題過程，可以看到二者雖然都知道解一元一次方程的關(guān)鍵是要找到一個等量關(guān)系，但分析過程卻大不同。被試乙能發(fā)現(xiàn)50本筆記本是甲筆記本與乙筆記本增加的銷售量和。但是對于已知條件中其他信息的獲取，缺乏敏捷性、條理性。做題稍顯忙亂。被試乙在分析已知條件時，方法是將每一個已知條件與所求問題比照著，一層一層地嘗試解題。盡管被試乙最終也列出了正確的方程，得出正確結(jié)果，但整個過程顯示出解題的不靈活性，比較僵化。缺乏檢驗結(jié)果是否正確意識。整個過程還不錯，問題算解決了。

被試者丙：

測試1：某文具公司銷售A、B兩種筆記本，去年共賣出12200本。今年A種筆記本的銷售量比去年多6%，B種筆記本銷售量比去年減少5%。兩種筆記本的總銷量增加50本。問去年兩種筆記本各賣了多少本?出聲的讀題目

告訴我們?nèi)ツ曩u出的筆記本數(shù)，今年A筆記本賣出的比去年多6%，B筆記本賣出的比去年減少5%，兩種筆記本的總銷量增加了50本，要求去年A、B兩種筆記本各賣多少本。2、這一題好復(fù)雜啊，那么多數(shù)字!如果設(shè)去年A賣x本（思考中…）今年A賣出的比去年多6%，B賣出的筆記本量比去年少5%，x(1+6%)是今年賣的筆記本（思考中…）去年共賣出12200本，今年A賣出的量比去年多了這6%，B賣出的比去年少了這5%。兩種筆記本的總銷量增加了50本。50本在這里有什么用?增加了50了本（思考中…）A為x，那么B就是12200－x，A比去年多6%，B比去年少5%".…可以這樣列式子，6%x+5%(12200－x)=50，我來算算看，怎么x是負的?是不是算錯了?(重復(fù)運算)，不能這樣列式……今年A筆記本賣出的比去年多6%，B筆記本賣出的比去年減少5%".…這道題太難了，我做不出來。簡單重復(fù)描述題目的條件。反復(fù)題目的條件，能夠把具體的已知條件進行利用，把數(shù)字進行組合，得出一些錯誤的式子，自己意識到，最終放棄解題。

分析：被試丙的解題過程相比前兩者，具有隨意性、無目的性、嘗試性的特點。反復(fù)題目的條件，卻不能夠意識到題目中的一些等量關(guān)系，只是嘗試著根據(jù)已知條件將數(shù)字進行搭配組合。缺乏做題的目的和方法，不自信也導(dǎo)致了做題太盲目。

（2）、后測個案分析被試甲：

甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，4小時后，甲車行了全程的60%，乙車還差10km到達兩地的中點．已知甲車每小時比乙車多行15km，A、B兩地相距多少千米？出聲的讀題目

1、要求得A、B兩地相距多少千米？要用方程來解。甲車行了全程的60%，乙車還差10km到達兩地的中點，即乙車行了還差10千米到達全程的50%。這里有個等量關(guān)系。在4小時內(nèi)，甲比乙多行4×15=60（千米）．那么，可以設(shè)A、B兩地相距x千米，則50%x減去10千米，再加上75千米，等于60%x，4、列出方程可得50%x－10+4×15=60%x，通過計算得x=5005、我再看看，結(jié)果…，對的明確要解決的問題。抓住題目中關(guān)鍵的詞。找出等量關(guān)系。分析題目中的條件，明確題目中要建立等量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系。列方程、計算、回答問題。檢查計算結(jié)果，是否符合題目。

分析：甲的解題目的性是很明確的，審題策略特別好。從分析已知條件和問題的關(guān)系，能夠迅速在題目中找到關(guān)鍵的句子，建立等量關(guān)系。甲能將整個解題過程的每一個步驟完整無誤的想清楚，運用方程解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題得心應(yīng)手。

被試乙：

甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，4小時后，甲車行了全程的60%，乙車還差10km到達兩地的中點．已知甲車每小時比乙車多行15km，A、B兩地相距多少千米？出聲的讀題目1、這道題要方程來解。要求A、B兩地相距多少千米？怎樣找等量關(guān)系呢（考慮中…），題目中告訴甲車每小時比乙車多行15km，也就是，4個小時里，甲比乙多行4×15=60（千米）．那么，甲車行了全程的60%，乙車還差10km才能到達兩地的中點。這里可以建立等量關(guān)系。2、如果設(shè)A、B兩地相距x千米，則50%x表示兩地中點的路程，再減去10千米，再加上60千米，就是4小時后，乙車走的路程。就是50%x－10+60。方程應(yīng)該這樣列，我看看（考慮中…），哦，甲共走的路程等于60%x。對，是這樣。這兩者相等，沒錯。3、50%x－10+60=60%x解得x=500.再看看考慮中…，結(jié)果是對的。分析題目中的已知條件，明確要求的問題，找關(guān)鍵句子，建立等量關(guān)系。找出正確的數(shù)量關(guān)系為列方程做下一步準備。正確的列出方程，并解答。

分析：被試乙相比于前測，在解題過程中，自信心明顯提高、在做題的邏輯性上有所進步。在解題中，能夠迅速地捕捉到題目中的關(guān)鍵句子，并且對所要求解的問題，積極、正確的設(shè)未知量，不足之處在于，在分析的過程中，缺乏一些統(tǒng)觀全題的意識，在分析中問題中有一點不夠果斷。做題的整個過程思路比較流暢，總體還是挺好的。被施乙在閱讀方面的能力有所欠缺，需要在日后的學(xué)習中加強。

被試丙

甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，4小時后，甲車行了全程的60%，乙車還差10km到達兩地的中點．已知甲車每小時比乙車多行15km，A、B兩地相距多少千米？出聲的讀題目

甲乙兩車是相向而行的。要求A、B兩地相距多少千米？甲車行了全程的60%的時候，乙車還差10km到達兩地的中點．什么意思？需要找等量關(guān)系（考慮中…），如果設(shè)甲、乙兩地距離為X千米，4小時候后，兩車走的路程是什么呢？要找出甲的路程，恩（考慮中…）甲走了60%x的路程。乙走的路程是，哦，數(shù)字很復(fù)雜呀，甲比乙每小時多走15千米。跟題目有什么關(guān)系呢？想想，那就是4小時多4×15=60（千米）�，F(xiàn)在怎么列方程呢？好像式子還不夠，（考慮中…）乙車還差10km到達兩地的中點，中點路程是全部路程的一半，那是0.5x。還差10，是減去還是加上呢10，應(yīng)該是相差10才到。應(yīng)該0.5x－10才行。還要再加上比甲少走的75，這樣就對了。乙一共的路程是0.5x+753、列方程是50%x－10+60=60%x，這樣應(yīng)該對了，計算的結(jié)果是x=500結(jié)果對不對呀，我就做到這里了。能夠清楚，題目中的已知和問題。并能重復(fù)，關(guān)鍵的句子。不斷的將已知條件和所要求的問題進行對比，尋找構(gòu)建方程的等量關(guān)系。并對復(fù)雜的數(shù)據(jù)進行組合。試圖得出要求的方程。列出方程，進行計算。分析：被試丙相比前測，在面對數(shù)學(xué)應(yīng)用題時，不那么慌張。能夠按照老師的要求的—審題策略‖清楚分析題目中的已知和問題。能夠根據(jù)自己所知道的一些列方程解應(yīng)用題的知識提出這一假設(shè)的(設(shè)元策略：對大部分的方程應(yīng)用題都根據(jù)問題來假設(shè)未知數(shù))。被試丙能正確重復(fù)，關(guān)鍵的句子。這也是在訓(xùn)練中加強培養(yǎng)審題策略而形成的一種思維模式。由于缺乏做題的全局性，對關(guān)鍵語句的梳理顯得比較亂，不能兼顧整道題的布局。所以在做題中，不斷的將已知條件和所要求的問題進行對比，尋找構(gòu)建方程的等量關(guān)系，并能對復(fù)雜的數(shù)據(jù)進行組合。試圖得出要求的方程。這相當于未經(jīng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略之前，已經(jīng)進步很大了。

第六章提高初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題水平的策略6.1在應(yīng)用題教學(xué)中要加強元認知調(diào)控1．提高教師自身的元認知水平

對于學(xué)生數(shù)學(xué)元認知能力的培養(yǎng)、提高，成為實施成功的數(shù)學(xué)教學(xué)的必然途徑教師在教學(xué)中處于教與學(xué)的主導(dǎo)地位，如果教師不及時提高數(shù)學(xué)元認知水平，必將導(dǎo)致學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)時出現(xiàn)更多困難。所以提高教師的數(shù)學(xué)元認知水平是非常迫切的。當提高教師數(shù)學(xué)元認知能力之后，教學(xué)就會呈現(xiàn)重教輕學(xué)、重知識的傳授。因為只重結(jié)果而輕知識發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程的教學(xué)，會使教學(xué)只停留在感知、記憶、模仿的低級階段。只有教師具有較高的數(shù)學(xué)元認知水平，在教學(xué)中，才會心中有數(shù)、才能針對學(xué)生的實際情況創(chuàng)設(shè)良好的問題情境。

2．在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強學(xué)生元認知能力的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)元認知能力，筆者通過教學(xué)實踐分析總結(jié)發(fā)現(xiàn)有以下幾方面的途徑：（1）使學(xué)生能自覺地調(diào)整和優(yōu)化學(xué)習心理

在數(shù)學(xué)學(xué)習中，遇到解題困難時，容易打擊做題者的積極性，從而影響解題的興趣。適當?shù)恼{(diào)整心態(tài)、積極的改進學(xué)習心理，可以使學(xué)生加強學(xué)習信心、改善自身的學(xué)習機制。在培養(yǎng)學(xué)生元認知能力的過程中，要從培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習學(xué)習心理、培養(yǎng)數(shù)學(xué)行為抓起。

教師在教學(xué)中要把握以下幾個環(huán)節(jié):

1）在教學(xué)中，最重要的就是師生之間的溝通。所謂—工欲善其事，必先利其器‖，你想讓你的語言—粘‖住學(xué)生、你想讓你的學(xué)生對你的課倍感興趣嗎？回答當然是肯定的，要做到這一點，就要求教師要發(fā)揮教學(xué)的藝術(shù)，以教師獨特的教學(xué)魅力感染學(xué)生，以教師高尚的人格影響學(xué)生。從某種意義上講，教師就是知識的傳播者，如果能用活潑的語言風格、豐富的肢體語言去打動學(xué)生的心，學(xué)生就愿意和老師親近，才能使學(xué)生產(chǎn)生輕松愉快的情感、使學(xué)生從喜歡老師到喜歡數(shù)學(xué)課、使產(chǎn)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習行為，在平時的教學(xué)中，就必須發(fā)揮老師良好教學(xué)修養(yǎng)。

2）當同學(xué)在解應(yīng)用題，感到困難時。教師要針對學(xué)生遇到的具體情況，多進行幫助、激勵，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣。教師應(yīng)多對學(xué)生進行啟發(fā)誘導(dǎo)，設(shè)計必要的鋪墊，讓學(xué)生在經(jīng)過自己的努力思考來克服困難的過程中體驗怎樣探究，而不能有老師代替學(xué)生思考，另外注意不要過早的給出答案。應(yīng)鼓勵探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來。教師積極鼓勵學(xué)生大膽提問、大膽討論、大膽發(fā)表自己的見解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的自信心。營造這樣的學(xué)習氛圍，不僅使得學(xué)生一定會精神飽滿、心情愉快、注意力集中，而且一直處于躍躍欲試的狀態(tài)之中，這對激發(fā)學(xué)生積極思維有很好的作用。

3）在平時的教學(xué)中，教師對學(xué)生學(xué)習成果的及時反饋，可使學(xué)生獲得成功的情感體驗。在教學(xué)中，克拉瑪依市第七中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)的反饋方式，就是課前制定10分鐘數(shù)學(xué)測驗卷，讓學(xué)生真真切切的了解自己學(xué)習中每個階段對知識點的掌握情況，并依據(jù)對知識點的掌握程度及時調(diào)整學(xué)習狀態(tài)。在這個過程中，通過適當?shù)奈镔|(zhì)獎勵和精神獎勵使學(xué)生產(chǎn)生愉悅感、自豪感。并刺激了他們的良性競爭意識。

（2）有針對性、系統(tǒng)地傳授數(shù)學(xué)元認知知識

元認知知識的傳授，依賴于教師，只有教師具有有較高的元認知水平，在教學(xué)中才能帶動學(xué)生一起潛移默化掌握元認知。教師可通過以下幾個方面收集、整理、研究有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習的元認知知識。

1）數(shù)學(xué)是一門有完整的學(xué)科體系的科學(xué)，數(shù)學(xué)界前人已經(jīng)積累了大量的關(guān)于，數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方法、學(xué)習方法等的元認知知識。在教師的教學(xué)中，要善于歸納、總結(jié)，并加以運用。

2）是教師本人在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中中對元認知知識的積累；

3）是教師從學(xué)生學(xué)習中積累元認知知識。在教學(xué)中，我們要傳授給學(xué)生的數(shù)學(xué)元認知知識有以下幾個方面:

第一方面、數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)特點、思維特點、方法特點方面。

第二方面、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習任務(wù)方面的知識，主要是學(xué)生在不同學(xué)年，學(xué)習不同的教學(xué)內(nèi)容時所要達到的認知目標。例如在講授《一次函數(shù)》一章之前，我們應(yīng)先告訴學(xué)生函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中所處的地位以及一次函數(shù)的學(xué)習對后繼知識的引導(dǎo)、啟發(fā)作用，與其他章節(jié)之間的區(qū)別和聯(lián)系，學(xué)習一次函數(shù)時有哪些注意事項，思維特點有什么不同。

第三方面、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習策略方面的知識，主要指學(xué)生思維方法、學(xué)習方法、學(xué)習步驟、行為步驟等內(nèi)容；比如，在學(xué)習用一元一次方程解應(yīng)用題時，教師如果能夠依據(jù)學(xué)生的思維特點、記憶特點，采用比較直觀地畫示意圖、畫表格對已知問題中的量進行表征，然后使學(xué)生依據(jù)應(yīng)用題模式識別進行思考，從而找到適合自己的解題策略。這樣才能提高學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的有效性。

3．師控與自控相結(jié)合

在學(xué)生的學(xué)習過程中，評價學(xué)習進程、評價學(xué)習策略、評價學(xué)習有效性，并根據(jù)學(xué)習情況的改變，不斷地調(diào)整和修正自己的策略。學(xué)習結(jié)束時要及時對所得結(jié)果進行反思，反思學(xué)習、反思思維的過程。

培養(yǎng)學(xué)生的元認知的過程。要求我們教育工作者，在課堂教學(xué)中把教師的主導(dǎo)—師控‖和學(xué)生的自我監(jiān)控一一—自控‖有機地結(jié)合起來。既要對知識傳授的數(shù)量、難度等方面進行控制，又要對學(xué)生學(xué)習態(tài)度、學(xué)習方法進行指導(dǎo)、控制。所以兩者相輔相成，缺一不可。即：自控要以師控為指導(dǎo)，自控在師控指導(dǎo)下進行發(fā)展。

6.2進行思維訓(xùn)練課干涉應(yīng)用題解題

在思維訓(xùn)練課里，主要傳授了以下幾種實用的解應(yīng)用題的策略1．審題策略

數(shù)學(xué)應(yīng)用題有著復(fù)雜的背景以及實際意義，應(yīng)用題的出現(xiàn)形勢，是一些冗長的文字表述。那么要想捕捉到題目的考察點，就要求學(xué)生在審題時—去粗取精‖，把具有代表性詞句篩選出來，比如數(shù)學(xué)問題中量之間的關(guān)系。這是審題的第一步，是數(shù)學(xué)模型建立的基礎(chǔ)。這一過程中，不僅是對學(xué)生閱讀理解的能力的考察，而且也是對學(xué)生閱讀過程的監(jiān)督。

數(shù)學(xué)應(yīng)用題審題實際是對問題表征的一個過程。在讀題、審題的過程中，把應(yīng)用題問題用語言表述成為符號或圖形語言，并用自己的語言來理解材料。當遇到文字冗長、數(shù)據(jù)較多、對象復(fù)雜的題目時，就需要我們從中整理和挖掘有用的信息材料，實現(xiàn)文字語言、與數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換。

(1)讓學(xué)生讀題講題，將問題進行表征問題的表征，可采用波利亞解題表，進行問題的層層推進，審題包括兩個步驟:1)對問題的表層理解。也就是解題者逐字逐句的讀懂描述問題，分清已知條件和問題就是解決問題的好的開始。2)對問題的深層理解是建立在表層理解的基礎(chǔ)上，把問題的每種陳述綜合成條件和目標統(tǒng)一的心理表征。

(2)仔細閱讀，抓關(guān)鍵字、詞

很多學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題有厭煩、恐懼心理，遇到文字較多的題就回避，題目意思看個大概，導(dǎo)致審題不細。初中生對題目中出現(xiàn)的術(shù)語、問題中各個量之間是怎樣的關(guān)系理解要精準，要善于抓住關(guān)鍵字、關(guān)鍵性句子，才便于對題目進行深層次的理解�，F(xiàn)就教材中常出現(xiàn)的一些關(guān)鍵詞進行舉例。常見的關(guān)鍵詞有以下幾類，一類表示和、差、倍、分的關(guān)系，如—一共‖、—多‖、—少‘，、—提前‖、—超過‖等等;另一類表示運算關(guān)系的，如—A比B大多少‖、—C比D的3倍少1‖等等;還有些—關(guān)鍵詞‖表面上相似而實際意義不同的，如—幾個月后‖與—第幾月‖、—是幾倍‖與—增加幾倍‖、—至多‖—至少‖—不超過‖—不少于‖等等字眼，一定要分辨清楚。結(jié)合教材，列舉如下：

例題1：在英語口語比賽中，比賽試題中共有20道題，每道題都給出4個選項，其中只有一個答案正確，要求學(xué)生把正確答案選出來，每道題選對得10分，不選或選錯倒扣5分，如果一個學(xué)生在本次比賽中得分不低于90分，那么他至少選對了______道題。

分析：用不等式解應(yīng)用題時，要注意對未知數(shù)的限制條件。要能夠抓住題中的關(guān)鍵詞。設(shè)選對了x道題，則不選或選錯題為(20-x)道，則有

10x一5（20一x）＞90解出：x＞

本題目中,x應(yīng)該是正數(shù)而且不能超過總題數(shù)20.所以至少答對13道x=13，即他至少選對了13道題。

例題2：電動摩托車銷售部，第一個月以5500元/輛的價格售出60輛自行車，第二個月起降價，以5000元/輛的價格將這批電動摩托車全部售出，銷售總量超過55萬元，則這批電動摩托車最少有多少輛？

分析：設(shè)這批電動摩托車有x輛，第二個月還有（x-60）輛，我們知道，第一個月銷售的摩托車數(shù)量+第二個月銷售的摩托車數(shù)量＞55萬元，就是本題建立不等式的關(guān)鍵句子。

由于第一個月以5500元/輛的價格售出60輛，則第一個月銷售量=5500×60

設(shè)這批電動摩托車有x輛，第二個月還有（x-60）輛，∴第二個月銷售量=5000×（x-60），∵銷售總量超過50萬元，

∴5500×60+5000×（x-60）＞550000．解得：x＞104則x≥105(3)數(shù)量的分類

在平時的解題過程中，首要的一步就是讀題，善于從中篩選所需的數(shù)據(jù)。并將其分析、歸類，最終將關(guān)鍵語言提供的數(shù)量類型，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而弄清量與量之間的關(guān)系。對于審題時能夠成功的對數(shù)量進行分類，是需要長期培養(yǎng)的，教學(xué)中應(yīng)予以關(guān)注。

2．分析策略

(1)分析數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，一般有兩種方法:綜合法和分析法。綜合法的思路是—從己知到可知‖。即從已知條件出發(fā)，借助其性質(zhì)和相關(guān)定理，經(jīng)過逐步邏輯推理，達到需求問題。分析法的思路是—從未知到已知‖。即從問題出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出解決問題所需要的條件，把未知的條件作為中間問題，找出解決中間問題的條件，逐步推導(dǎo)直到所需條件能從題目中找到為止。

例如：車間有14名工人生產(chǎn)螺絲和螺母，每人每天平均生產(chǎn)600個螺絲或900個螺母，現(xiàn)有x個工人生產(chǎn)螺絲，恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套，為求x，可列方程

解：設(shè)x名工人生產(chǎn)螺栓，則生產(chǎn)螺母的工人為14-x名。每天生產(chǎn)螺栓600x個，生產(chǎn)螺母900×（14-x）；根據(jù)—恰好每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1：2配套‖，得出方程：2×600x=900（14-x）解得：x=6結(jié)果符合題意(2)列方程中最重要的是怎樣在題目中正確找出能夠表示問題全部含義的等量關(guān)系。我們把—等量關(guān)系‖分為兩類:

1）一類表示各種量之間內(nèi)在規(guī)律固有的等量關(guān)系。這類關(guān)系對應(yīng)的問題中的量在一般情況下處于穩(wěn)定狀態(tài)，屬于—靜態(tài)‖問題。例如:應(yīng)用題中的等量關(guān)系：

a）行程問題：路程=速度×時間b）相遇問題：全程=甲路程+乙路程

c）追及問題：全程=速度快者的路程速度慢者的路程

d)流水問題（航行問題）：順流速度=輪船在靜水中的速度+水流速度逆流速度=輪船在靜水中的速度水流速度飛機順風速=飛機速度+風速飛機逆風速=飛機速度風速

e）工程問題：工作總量=工作效率×工作時間f）當工作總量沒有明確表示時，常把工作總量看作1；g）幾個人合作一件工程的工作量=各人工作量的和

h）增長率問題：平均增長率問題：，其中b表示變化后的量，a表示變化前的量，n表示變化的次數(shù)。

i）商品利潤問題：售價進價=利潤g）濃度問題基本關(guān)系:溶液=溶劑+溶質(zhì)，2）另一類是題目中給出的條件等量關(guān)系，

表示各種量之間內(nèi)在規(guī)律固有的等量關(guān)系。這類關(guān)系對應(yīng)的問題中的量在一般是變化的，屬于—動態(tài)‖問題。例如:

a）調(diào)配類應(yīng)用題的特點是:調(diào)配前的數(shù)量關(guān)系，調(diào)配后又有一種新的數(shù)量關(guān)系。b）等積類應(yīng)用題的基本關(guān)系式:變形前的體積(容積)=變形后的體積(容積)。

c）濃度問題:稀釋前的數(shù)量關(guān)系與稀釋后的數(shù)量關(guān)系，加濃前的數(shù)量關(guān)系與加濃后的數(shù)量關(guān)系。在中學(xué)教學(xué)中，這類問題非常多，列舉如下：例如1：現(xiàn)有含糖15%的糖水400克，實驗員要求將糖水濃度變?yōu)?2%，某同學(xué)錯誤加進了110克水，要使?jié)舛戎匦伦優(yōu)?2%，該同學(xué)該怎么辦？

分析：依據(jù)題意：400克含糖15%的糖水中水的質(zhì)量=400（115%）=340克，糖的質(zhì)量=400×15%=60克，

加了110克水后，總質(zhì)量為510克，但是糖的質(zhì)量未變．要想使糖水濃度變成12%，則糖水的質(zhì)量應(yīng)該等于=克，

如果要加入糖使?jié)舛戎匦伦優(yōu)?2%，可設(shè)加入x克糖，那么由題意可得出：解得即為所求。

例如2：某汽車配件廠有工人300人，生產(chǎn)甲種配件，平均每人每年可創(chuàng)造利潤m萬元（m為大于零的常數(shù)），為減員增效，決定從中調(diào)配x人去生產(chǎn)新開發(fā)的乙種配件，根據(jù)預(yù)算，調(diào)配后繼續(xù)生產(chǎn)甲種配件的工人平均每人每年創(chuàng)造利潤可增加20%，生產(chǎn)乙種配件的工人平均每人每年可創(chuàng)造利潤1.54m萬元．（1）調(diào)配后，此汽車配件廠生產(chǎn)甲、乙兩種配件的年利潤分別為多少？（用含m，x的代數(shù)式表示）.

（2）如果調(diào)配后，生產(chǎn)甲種配件的年利潤不小于調(diào)配前年利潤的0.8，生產(chǎn)乙種配件的年利潤大于調(diào)配前年利潤的一半，應(yīng)如何設(shè)計調(diào)配方案？哪種方案全年總利潤最大？

分析：（1）生產(chǎn)甲種配件的人數(shù)為300-x，平均每人每年創(chuàng)造的利潤為m（1+20%）

元，所以調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)甲種配件的年利潤為（300-x）（1+20%）m萬元；生產(chǎn)乙種配件人數(shù)為x，平均每人每年創(chuàng)造的利潤為1.54m，所以生產(chǎn)乙種配件的年利潤為1.54mx萬元；

分析：（2）生產(chǎn)甲種配件的年利潤不小于調(diào)配前年利潤的0.8，

即，大于等于0.8×300m。生產(chǎn)乙種配件的年利潤大于調(diào)配前年利潤的一半，即，大于300m，依據(jù)題意，列不等式組（300-x）(1+20%)m≥0.8×300m1.54mx＞0.5×300m解得:97.4＜x≤100，∵x為正整數(shù)，

∴x可取98，99，100．∴共有三種調(diào)配方案：

①202人生產(chǎn)甲種配件，98人生產(chǎn)乙種配件；②201人生產(chǎn)甲種配件，99人生產(chǎn)乙種配件；③200人生產(chǎn)甲種配件，100人生產(chǎn)乙種配件3．設(shè)元策略

在應(yīng)用題解題中，盡管算式法和方程法是常用的兩種方法，但在做題中提倡學(xué)生使用方程法。方程是刻畫現(xiàn)實世界中含有未知數(shù)的問題的數(shù)學(xué)模型。其過程就是—分析數(shù)量關(guān)系、合理設(shè)未知數(shù)、通過尋求已知量與未知量之間的關(guān)系，建立等式即列方程，然后解方程和檢驗。（檢驗包括兩個方面：一方面解得結(jié)果正確與否；另一方面結(jié)果是否符合題意）。

（1）解數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般步驟：第一步；找相等關(guān)系；第二步；設(shè)未知數(shù)；

第三步；根據(jù)題意列方程（組）或者列不等式（組）；第四步；解方程（組）或解不等式（組）；

第五步；檢驗及答。（注意這里：不僅檢驗包括判斷是否是方程（組）的解，而且還要判斷解是否符合題意）。

在中學(xué)教學(xué)中，我們主要研究用方程解決應(yīng)用題。用方程的方法解應(yīng)用題，即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性和應(yīng)用性，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)中蘊涵的文化。在列方程（組）或者不等式（組）解應(yīng)用題時，未知數(shù)x的設(shè)定是否直接關(guān)系到所列方程是否簡便。設(shè)元是解應(yīng)用題的開始，選擇題目中那個量作為未知數(shù)來設(shè)元，決定了列方程的難易程度。解應(yīng)用題一般包括兩種設(shè)元的方法:直接設(shè)元的方法和間接設(shè)元的方法。

l）直接設(shè)元法：即題目里問題問什么，我們就設(shè)什么為未知數(shù)。例題1：甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習跑步，已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒鐘跑6米，甲的速度是乙的倍．

（1）如果甲、乙在跑道上相距40米處同時反向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？（2）如果甲在乙前面40米處同時同向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒甲、乙兩人第一次相遇，則：6×x+6x=40040，解得x=24．

答：經(jīng)過24秒甲、乙兩人第一次相遇。（2）設(shè)經(jīng)過y秒甲、乙兩人第一次相遇，則6×y=6y+40040，解得：y=120．

答：經(jīng)過120秒甲、乙兩人第一次相遇

2）間接設(shè)元法：所謂間接設(shè)元法指，不直接設(shè)所求的問題中的未知數(shù)，而是設(shè)題中的與所求有關(guān)聯(lián)的未知量，求得未知數(shù)的值。最后利用未知量與問題要求量的聯(lián)系得出答案。

例題1：甲隊、乙隊、丙堆合作一項工程，計劃需要190個工人，由于各隊人數(shù)不等，按照4：6：9派遣剛好，問甲隊、乙隊、丙隊三個隊各應(yīng)派出多少人?

分析:設(shè)甲隊應(yīng)派4x人，乙隊應(yīng)派6x人，丙隊應(yīng)派9x人。依題意列方程:4x+6x+9x=190

在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)中，有很大一部分應(yīng)用題，設(shè)元時既可采用直接設(shè)元法，也可采用間接設(shè)元法。這要求學(xué)生運用已有經(jīng)驗從中選出最好的解法，只有通過長期的練習，才能逐漸在解題中增強對設(shè)元的技巧的掌握。

4．幾種特殊的策略

除了上述幾種常用的解題策略以外，還有幾種特殊是策略:（1）畫示意圖尋找等量關(guān)系赫加蒂（Hegarty）的圖式一圖像表征論認為運用圖式表征能夠成功解決數(shù)學(xué)問題。將列方程所必須的條件明朗化、清晰化必須依靠示意圖，從而圖式成了思維的載體，使視覺直接參與到解題過程中。蘇霍梅林斯基所言:—教會學(xué)生把應(yīng)用題畫出來，其用意就在于保證由具體思維向抽象思維過渡‖。如果學(xué)生能掌握如何畫圖和建立圖式表征，他們的成績將會明顯提高。圖解分析法在解數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，具有很強的直觀性和明確的目的性，在數(shù)學(xué)教學(xué)的運用中具有普遍性。如工程問題、速度問題、調(diào)配問題等，多采用畫圖進行分析，通過對問題中的已知條件及問題進行圖解，幫助學(xué)生深刻理解題意，從而根據(jù)題目內(nèi)容，正確的設(shè)出未知數(shù)，準確列出方程，精確地得出未知數(shù)的解。列舉如下:

例題1：有一些質(zhì)地均勻、大小一樣的紅、白兩種顏色的粉筆，分裝在甲、乙兩個粉筆盒里中，甲盒裝有1根紅粉筆和1根白粉筆，乙盒裝有2根紅粉筆和1根白粉筆，現(xiàn)在要從每個盒中隨機摸出1根粉筆。

（1）請你用畫樹狀圖表示所有等可能的結(jié)果；

（2）有人說：—摸出兩根紅粉筆‘和摸出一紅粉筆一白粉筆‘這兩個事件發(fā)生的概率相等．‖你同這種意說法嗎？為什么？

分析：（1）根據(jù)題意，可以將各種可能性，畫出如下的樹形圖:乙盒紅白紅1紅2白白紅1紅2甲盒

（2）不同意這種說法．由（1）知，P（兩紅）=2/6=1/3P（一紅一白）=3/6=1/2∴P（兩紅）＜P（一紅一白）

在這道題里，通過直觀、簡潔的畫圖，解決了復(fù)雜的概率問題。（2）列表法尋找等量關(guān)系

遇到較復(fù)雜的問題，條件中的數(shù)量關(guān)系錯綜復(fù)雜難以理清頭緒，這時我們可采用列表的方法。將條件中的所涉及的量填進去，包括已知的和未知的。這對解題者尋找解題思路有一定的啟發(fā)作用[36]。

例題[37]1：甲、乙兩地間路程為150千米，一人騎自行車從甲地出發(fā)，每小時走15千米，2小時后，另一人騎摩托車從乙地出發(fā)，速度是自行車速度的3倍。兩人相向而行，問經(jīng)過多少時間兩人相遇？分析：題中有三類相關(guān)聯(lián)的量：時間、速度、路程，兩個可比對象：騎摩托車的人和騎自行車的人，將它們放在一個表中分析如下：

時間速度路程

騎自行車的人未知數(shù)15未知數(shù)騎摩托車的人未知數(shù)15×3未知數(shù)

時間速度路程騎自行車的人未知15未知騎摩托車的人未知15×3未知由此出現(xiàn)了騎自行車的人的時間、速度、路程，騎摩托車的人的時間、速度、路程，其中已知的只是兩人的速度,兩人各自行走的時間和路程均未知，但是，根據(jù)題意可知兩人所用的時間相差2小時，兩人的所行的路程之和為150千米。分析至此我們發(fā)現(xiàn)，這道應(yīng)用題中

包含了以下幾個方面的信息：

（1）個可比對象：騎摩托車的人和騎自行車的人；（2）每個對象相聯(lián)系的三類相關(guān)量：時間、速度、路程；

（3）三類相關(guān)量中，對兩個可比較的對象而言，僅有一類量（兩個）已知，但是另外同類兩個未知量間的比較關(guān)系是已知的。

設(shè)騎摩托車的人出發(fā)后經(jīng)過x小時兩人相遇，則騎摩托車的人行了45x千米，騎自行車的人行了15（x+2）千米，根據(jù)題意，可列方程

15（x+2）+45x=150

例題2甲乙兩個水池共存水100噸.若甲池的水放出5噸，乙池注入水10噸，則甲池的水是乙池的2倍。求原來兩個水池各有多少噸水。

分析：兩個可比對象是甲池和乙池；三類相關(guān)量及其關(guān)系是：原來的存水量+增減量=后來的存水量；已知的一類量是增減量，兩條關(guān)于未知量的關(guān)系是：原來的存水量之和為100噸，后來甲池的水是乙池的2倍；

解法一：原來的存水量之和為100噸‖設(shè)未知數(shù)，則根據(jù)—后來甲池的水是乙池的2倍‖列出的方程是：x-5=2[(100-x)+10]

具體分析如下表：原存水量增減量后存水量甲池x-5x-5

乙池100-x+10(100-x)+10

解法二：后來甲池的水是乙池的2倍‖設(shè)未知數(shù)，則根據(jù)—原來的存水量之和為100噸‖列出的方程是：（2x+5）+（x-10）=100。具體分析見下表：

原存水量增減量后存水量甲池2x+5-52x乙池x-10+10x

如此進行，一樣的分析思路，表中未知數(shù)位置有四個，直接在表中設(shè)未知數(shù)的方法有四種，相應(yīng)的方程就有四種。

例題[38]3：某工廠與A地、B地有公路、鐵路相連．這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運到B地。已知公路運價為1.5元/（噸?千米），鐵路運價為1.2元/（噸?千米），如果都采用公路運輸，則共需支出公路運輸費15000元，如果都采用鐵路運輸，則共需支出鐵路運輸費97200元。試計算：這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？

工廠鐵路120km公路10km鐵路110km公路20kmAB

分析：這批產(chǎn)品的銷售款與產(chǎn)品的數(shù)量有關(guān)系，而原料費與原料數(shù)量有關(guān)系。設(shè)產(chǎn)品重x噸，原料重y噸，由于圖中的數(shù)據(jù)比較多，為了便于分析需要列表

如下：

產(chǎn)品重x噸原料重y噸合計公路運輸費/元鐵路運輸費/元價值/元

結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，根據(jù)等量關(guān)系：1）公路運費15000元；2）鐵路運輸97200．3）根據(jù)—利潤=總售價-總進價-運輸費用‖進行計算。

題目中所求的值，需要先求出來產(chǎn)品重量和原料重量。根據(jù)上表中的關(guān)系，列方程組解得這個方程組，得

所以最終要求的結(jié)果為1887800元。

這道題解題中的一些條件是用示意圖給出的，這種表達形式比較簡明，很實用。通過分析這個問題，可以培養(yǎng)學(xué)生從圖表中獲取信息的能力，通過列表可以對有關(guān)數(shù)量進行整理，從而便于發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系

教育的終極目標是培養(yǎng)具有創(chuàng)造力的人。本實驗中運用的思維策略是緊密聯(lián)系數(shù)學(xué)教學(xué)提出的，在教學(xué)實踐中具有可操作性，其在教學(xué)中表現(xiàn)出的系統(tǒng)性、集中性的優(yōu)點。筆者依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)進行思維策略的訓(xùn)練，如果能夠長期滲透與教學(xué)之中，對于智力水平和創(chuàng)造力水平的提高是必然的。

6.3在應(yīng)用題教學(xué)中要注重語言轉(zhuǎn)換和呈現(xiàn)方式的轉(zhuǎn)換

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中。[39]教師的發(fā)音清楚、流暢、抑揚頓挫、高低起伏處理的恰當，能給學(xué)生以美的享受。因為語音能刺激聽覺神經(jīng)的興奮,學(xué)生可以通過調(diào)節(jié)聽覺神經(jīng)，使自己保持一種愉悅、專注的狀態(tài)。聽課人除了受到自己情緒影響之外，聽課人的情緒也往往受到教學(xué)內(nèi)容和教師情緒的影響。這一點就要求教師在教學(xué)過程中隨時注意這種情況,并適當調(diào)節(jié)自己的語音以達到好的教學(xué)效果。

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，情態(tài)語很重要，老師一個親切的微笑，一個關(guān)注的眼神，調(diào)整與學(xué)生之間的距離，都能有效的調(diào)節(jié)學(xué)生的情緒，激起學(xué)生的熱情，從而提高課堂效率。作為教師恰當?shù)倪\用這一點可以在課堂內(nèi)達到—此時無聲勝有聲‖。

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，語言風格上,教師一方面要注意語言表達一定要具有知識性、嚴謹性、啟發(fā)性。另一方面要注意語言文明。老師粗暴的批評、諷刺挖苦、否定學(xué)生會挫敗學(xué)生的信心和志氣。只有真誠的肯定可以讓學(xué)生享受成長的快樂、學(xué)習的快樂，同時也獲得足夠的自信。

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，語言描述上，要具有形象性、直觀性強的特點。這一點可以感染學(xué)生的良好情緒,產(chǎn)生輕松愉快的心理情緒，提高聽課效率。在通往知識殿堂的路上，學(xué)生對知識的接受要達到精湛的效果,教師孜孜不倦的教與學(xué)生高效快樂的學(xué)是重要的保證。因此教學(xué)語言必須富有啟發(fā)性和激勵性,發(fā)揮出點撥光明,開啟智慧的功能。

第七章研究小結(jié)與展望7.1研究小結(jié):一、結(jié)合學(xué)科領(lǐng)域?qū)�學(xué)生進行思維策略的訓(xùn)練是有效的、可行的。

二、本實驗所采用的思維策略對不同層次學(xué)生的訓(xùn)練效果均顯著，對中、差生的訓(xùn)練效果特別顯著。三、學(xué)生在參與調(diào)查問卷和思維訓(xùn)練的態(tài)度比較積極。另外，本實驗亦有不足之處；

在教師方面表現(xiàn)為：1）由于社會的不斷發(fā)展教師駕馭能力有待進步;2）初中數(shù)學(xué)教材的教學(xué)脫離實際；

在學(xué)生方面表現(xiàn)為：1）學(xué)生基礎(chǔ)知識不扎實，利用初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題元認知掌控自己對知識掌握的的能力弱、建模意識不強；2）受到學(xué)習興趣、動機等因素造成了學(xué)生解題的心理障礙。由于條件所限，思維訓(xùn)練時間較短，沒能測定實驗的長期效應(yīng)。這有待于在今后的實驗中加以改進。

7.2研究的展望

本文是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略的實驗研究，過程依據(jù)初中生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的認知、學(xué)習、掌握的規(guī)律展開：

一、元認知的知識在理論上豐富和發(fā)展了教育學(xué)、心理學(xué)的有關(guān)理論;在實踐上，對于培養(yǎng)學(xué)生思維能力和問題解決能力、開發(fā)學(xué)生智力、解決—教會學(xué)生如何學(xué)習‖、對推動新的數(shù)學(xué)課程標準的施行具有十分重要的意義。

二、本實驗用于訓(xùn)練學(xué)生提高應(yīng)用題解題思維策略訓(xùn)練的時間僅15個課時，而中學(xué)生能夠自我認知、自我監(jiān)控、自我計劃、自我評價、自我反饋和自我調(diào)節(jié)，并且積極、自覺的解決有意義的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，要變成一種自覺行為或能力，是要經(jīng)過反復(fù)練習才能逐步形成，最終達到不需要意志努力和意識監(jiān)控的自動化行為模式定型也是需要長時間訓(xùn)練才能達到。

三、本實驗僅針對克拉瑪依市第七中學(xué)八年級學(xué)生進行。八年級學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題知識達到了一定的積累，所以實驗結(jié)果較明顯，而對于其他年級的實驗，尤其是其他中學(xué)來說，實驗結(jié)果還有待于進一步證實。

四、本研究僅對學(xué)生進行了提高應(yīng)用題解題思維策略訓(xùn)練，并運用波利亞解題表在教學(xué)中實踐波利亞解題思想解數(shù)學(xué)應(yīng)用題。所以學(xué)生在應(yīng)用題的基本題型方面得分有所提高，但隨著社會高速的發(fā)展，不斷出現(xiàn)新的類型的應(yīng)用題，實際解決應(yīng)用題能力還有待提高。要整體提高初中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題的能力，還需要探究更有效地課堂教學(xué)模式，不斷提高學(xué)生解題自我監(jiān)控能力和增強數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題的策略意識[40]。在一定程度上要依賴廣大教育工作者的示范作用，所以對于廣大教育者來說，各方面的提高還有待以后的研究。

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