高考復(fù)習(xí)文科導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一.考綱要求
考試內(nèi)容8A導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc,yx,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用yx2要求層次BC√△√,y1x√的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)公式表◇導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次)函數(shù)的極值、最值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題√√☆√☆√√二.知識(shí)點(diǎn)
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線(xiàn)的斜率,也就是說(shuō),曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線(xiàn)的斜率是f"(x0),切線(xiàn)方程為
yy0f(x)(xx0).
"2.、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
"n"n1""①C0;②(x)nx;③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;
⑤(a)alna;⑥(e)e;⑦(log3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
x"xx"xax)"1xlna";⑧(lnx)1x
(v0).(1)(uv)uv.(2)(uv)uvuv.(3)()2vv4.極值的判別方法:(極值是在x0附近所有的點(diǎn),都有f(x)<f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的
""""""u"uvuv""極大值,極小值同理)當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí),
①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)>0,右側(cè)f"(x)<0,那么f(x0)是極大值;②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)<0,右側(cè)f"(x)>0,那么f(x0)是極小值.
也就是說(shuō)x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào),而不是f"(x)=0①.此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然,極值是一個(gè)局部概念,極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比極小值。ê瘮(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同).
注①:若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則f"(x)=0.但反過(guò)來(lái)不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)值為零.例如:函數(shù)yf(x)x3,x0使f(x)"=0,但x0不是極值點(diǎn).
是函數(shù)的極小值點(diǎn).
②例如:函數(shù)yf(x)|x|,在點(diǎn)x0處不可導(dǎo),但點(diǎn)x0極值與最值區(qū)別:極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較,最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.5.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性
(1)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù);如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù);(2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō),f′(x)>0是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件,f′(x)<0是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件;(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟:
①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);②令f′(x)>0解不等式,得x的范圍,就是遞增區(qū)間;③令f′(x)<0解不等式,得x的范圍,就是遞增區(qū)間。
擴(kuò)展閱讀:文科導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)與題型歸納
導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)
一、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)f"(x0)limyxx0。
二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),就是曲線(xiàn)y=(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線(xiàn)的斜率.由此,可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程.具體求法分兩步:
(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線(xiàn)的斜率;(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線(xiàn)斜率的條件下,求得切線(xiàn)方程為
yy0f"(x0)(xx0)
三、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則(1)八個(gè)基本求導(dǎo)公式(C)=;(x)=;(n∈Q)
n(sinx)x=,(cosxx)=(e)=,(a)=(lnx)=,(logax)=(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(uv)=[Cf(x)]=(uv)=,(u)v=(v0)(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)u(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),yf(u)在點(diǎn)uf(x)=,即yxyuux
(x)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)
f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo),且
四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(要求:明白解題步驟)1.函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),若f(x)f(x)0,則f(x)為減函數(shù)。
//0,則
f(x)為增函數(shù);若
(2)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法。①分析yf(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)yf(x)③解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的部分為區(qū)間解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的部分為區(qū)間
例如:求函數(shù)yx1x的減區(qū)間
2.可導(dǎo)函數(shù)的極值(采用表格或畫(huà)函數(shù)圖象)
(1)極值的概念
設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,且若對(duì)x0附近所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大(小)值,稱(chēng)x0為極大(小)值點(diǎn)。(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟①求導(dǎo)數(shù)f(x);②求方程③檢驗(yàn)
f(x)=0的;
f(x)f(x)在方程=0的根左右的符號(hào),如果在根的左側(cè)附近為正,右側(cè)附近為
f(x)負(fù)(先增后減),那么函數(shù)y=在這個(gè)根處取得;如果在根的左側(cè)附近為負(fù),
右側(cè)為正(先減后增),那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得.3.函數(shù)的最大值與最小值⑴設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù),y=f(x)在(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則函數(shù)y=
f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值;但在開(kāi)區(qū)間內(nèi)未必有最大值與最小值.(2)求最值可分兩步進(jìn)行:
①求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的值;
②將y=f(x)的各值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.
(3)若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的,f(b)為函數(shù)的;若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的,f(b)為函數(shù)的.
4.求過(guò)函數(shù)上一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率或方程
例題1:分析函數(shù)yx33x(單調(diào)性,極值,最值,圖象)
例題2:函數(shù)yx3ax在(,1)上為增函數(shù),在(1,1)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a
例題3:求證方程xlgx1在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.(分析解本題要用的知識(shí)點(diǎn))
3一.求值
1.f(x)是f(x)13x2x1的導(dǎo)函數(shù),則f(1)的值是3.
2.f(x)=ax3+3x2+2,f(1)4,則a=
3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿(mǎn)足f(x)=3x+2xf(2),則f(5)=.4.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)110.(08海南理)曲線(xiàn)ye2在點(diǎn)(4,e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為三.單調(diào)性
21.(1)設(shè)f(x)=x(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是()A.(0,
43)xB.(
43,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(
43,+∞)
(2)函數(shù)y=(x+1)(x2-1)的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)與(-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,+∞)(3)函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)
2.(1)若函數(shù)f(x)=x-ax+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2)設(shè)a0,函數(shù)f(x)x3ax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).則實(shí)數(shù)a的取值范圍為;(3)函數(shù)y=ax3-x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為;3.(1)若函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在R上單調(diào)遞增,則a的范圍是.(2)已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù),則a的取值范圍是:.4.若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R上是增函數(shù),則()
(A)b24ac0(B)b0,c0(C)b0,c0(D)b23ac05、函數(shù)yx3axb在(1,1)上為減函數(shù),在(1,)上為增函數(shù),則()(A)a1,b1(B)a1,bR(C)a3,b3(D)a3,bR四.極值
1、函數(shù)y13xx的極大值,極小值分別是
A.極小值-1,極大值1B.極小值-2,極大值3C.極小值-2,極大值2D.極小值-1,極大值3
2.函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3時(shí)取得極值,則a=()(A)2(B)3(C)4(D)5
3.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1時(shí)有極值10,則a、b的值為()A.a=3,b=-3,或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正確
34、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)4x4x,且圖象過(guò)點(diǎn)(0,-5),當(dāng)函數(shù)f(x)取得極
332大值-5時(shí),x的值應(yīng)為
A.1B.0C.1D.±1
35.若函數(shù)f(x)=x-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則()A.0A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)8.(201*遼寧卷文)若函數(shù)f(x)五.最值
1.函數(shù)y2x33x212x5在[0,3]上的最大值、最小值分別是()
A.5,-15
B.5,-4
C.-4,-15
D.5,-16
xax12在x1處取極值,則a
2.(06浙江文)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是()
(A)-2(B)0(C)2(D)4
3函數(shù)y=x3+
3x在(0,+∞)上的最小值為
B.5
C.3
D.1
A.4
4.(07湖南理)函數(shù)f(x)12xx3在區(qū)間[3,3]上的最小值是.
5(07江蘇)已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間[3,3]上的最大值與最小值分別為M,m,則Mm____________
變式、函數(shù)f(x)x33xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為M,N,則M-N的值為。6.(201*安徽文)設(shè)函數(shù)f(x)2xA.有最大值B.有最小值六.綜合
1x1(x0),則f(x)()
C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)
1.(07福建理、文)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)f(x),g(x)g(x),且x0時(shí),
f(x)0,g(x)0,則x0時(shí)()
A.f(x)0,g(x)0C.f(x)0,g(x)0
B.f(x)0,g(x)0D.f(x)0,g(x)0
"2.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿(mǎn)足(x1)f(x)0,則必有()A.f(0)f(2)2f(1)B.f(0)f(2)2f(1)C.
f(0)f(2)2f(1)D.
n1f(0)f(2)2f(1)*
3.(201*陜西卷文)設(shè)曲線(xiàn)yx為xn,則x1x2xn的值為(A)
1n(nN)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
(B)
1n1(C)
nn1(D)1
1所示,
4設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),yf(x)的圖象如右圖
則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)可能為()
yyyyO(A)
xOxO(C)
xOx(B)
5.(浙江卷11)設(shè)f"(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),
y(D)
y=f"(x)的圖象如右圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能的是
O12x
yyyyO12xO122x1xO12x(A)(B)(C)(D)6.(201*湖南卷文)若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),...則函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是【】yyyyoabxoa
obxa
obxa
bxA.B.C.D.
7、已知函數(shù)f(x)xmx(m6)x1既有極大值又存在最小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。
8、若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,,且f(x)0,f(x)0,那么函數(shù)yxf(x)()
/32(A)存在極大值(B)存在最小值(C)是增函數(shù)(D)是減函數(shù)
9、當(dāng)x0,2時(shí),函數(shù)f(x)ax4(a1)x3在x=2時(shí)取得最大值,則a的取值范圍
2是。
七.解答題(重點(diǎn))
題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。
1.已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc,過(guò)曲線(xiàn)yf(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線(xiàn)方程為
y=3x+1
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)b的取值范圍
2:已知三次函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x1和x1時(shí)取極值,且f(2)4.(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域?yàn)閇4,16],試求m、n應(yīng)滿(mǎn)足的條件.3.(海南文本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)f(x)ln(2x3)x2(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
31(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間,的最大值和最小值.
44324、已知f(x)axbxcx(a0)在x1取得極值,且f(1)1。
(1)試求常數(shù)a,b,c的值;
(2)試判斷x1是函數(shù)的極大值還是極小值,并說(shuō)明理由。
5.已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+ax+b在x=(1,f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)12x-y-1=0平行.(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.
題型二:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立。
1.已知兩個(gè)函數(shù)f(x)7x228x,g(x)2x34x240xc.
(Ⅰ)F(x)圖像與f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),解不等式F(x)f(x)x3
(Ⅱ)若對(duì)任意x[-3,3],都有f(x)g(x)成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
2.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c.
21(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,且x∈[-1,2]時(shí),f(x)
2.設(shè)函數(shù)fxxbxcx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)。
32(1)(Ⅰ)求b、c的值。
(2)(Ⅱ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。
3.(201*北京理科、文科)已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(I)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.
4.(201*安徽文)設(shè)函數(shù)fxxbxcx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函
32數(shù)。
(Ⅰ)求b、c的值。(Ⅱ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。
5.(201*全國(guó)Ⅱ卷文)設(shè)aR,函數(shù)f(x)ax33x2.(Ⅰ)若x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn),求a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)f(x)f(x),x[0,2],在x0處取得最大值,求a的取值范圍.
6.(201*湖北文)已知函數(shù)f(x)xmxmx1(m為常數(shù),且m>0)有極大值9.(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)若斜率為-5的直線(xiàn)是曲線(xiàn)yf(x)的切線(xiàn),求此直線(xiàn)方程.
7已知函數(shù)f(x)x3ax1.
(Ⅰ)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增,求a的范圍;
93(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a使明理由.09福建理科
f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減.若存在求出a的范圍,若不存在說(shuō)
14.若曲線(xiàn)f(x)ax3lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn),則實(shí)數(shù)a取值范圍是_____________.20、(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)f(x)1332xaxbx,且f"(1)0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)試用含a的代數(shù)式表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)令a1,設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值,記點(diǎn)M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(m,f(m)),x1mx2,請(qǐng)仔細(xì)觀(guān)察曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與線(xiàn)段MP的位置變化趨勢(shì),并解釋以下問(wèn)題:
(I)若對(duì)任意的m(x1,x2),線(xiàn)段MP與曲線(xiàn)f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn),試確定t的最小值,并證明你的結(jié)論;
(II)若存在點(diǎn)Q(n,f(n)),xn 直接寫(xiě)出m的取值范圍(不必給出求解過(guò)程)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m09福建文科 15.若曲線(xiàn)fxaxInx存在垂直于y軸的切線(xiàn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 221.(本小題滿(mǎn)分12分) 已知函數(shù)f(x)13xaxbx,且f"(1)0 32(I)試用含a的代數(shù)式表示b; (Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅲ)令a1,設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值,記點(diǎn) M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),證明:線(xiàn)段MN與曲線(xiàn)f(x)存在異于M、N的公共點(diǎn); 08福建理科(11)如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能是 (19)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)13xx2. 322(Ⅰ)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=3.若點(diǎn)(an,an12an1)(n∈N*) 在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,求證:點(diǎn)(n,Sn)也在y=f′(x)的圖象上; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.文科 (21)(本小題滿(mǎn)分12分) 已知函數(shù)f(x)xmxnx2的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,-6),且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). (Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若a>0,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)的極值.07福建 11.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)f(,x)f(x),0g(x),則x0時(shí)() g(x)32,且gxx0時(shí), A.f(x)0,g(x)0C.f(x)0,g(x)022.(本小題滿(mǎn)分14分) B.f(x)0,g(x)0D.f(x)0,g(x)0 已知函數(shù)f(x)ekx,xR x(Ⅰ)若ke,試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若k0,且對(duì)于任意xR,f(x)0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍; n(Ⅲ)設(shè)函數(shù)F(x)f(x)f(x),求證:F(1)F(2)F(n)(e (全國(guó)一文20) 設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)取得極值. (Ⅰ)求a、b的值; n12)2(nN). 2(Ⅱ)若對(duì)于任意的x[0,3],都有f(x)c成立,求c的取值范圍. (陜西文21) 已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間(,0),(1,)上是減函數(shù),又 13f().22(Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若在區(qū)間[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范圍.12.已知函數(shù)f(x)13x312(b1)xcx,①若f(x)在x1,x3處取得極值,試求 2常數(shù)b,c的值;②若f(x)在,x1,x2,上都是單調(diào)遞增,在x1,x2上單調(diào)遞減, 2且滿(mǎn)足x2x11,求證:b2(b2c) 3214.設(shè)t0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)f(x)xax與g(x)bxc的圖象的一個(gè)公共點(diǎn),兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線(xiàn).(Ⅰ)用t表示a,b,c; (Ⅱ)若函數(shù)yf(x)g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,求t的取值范圍. 例1]已知曲線(xiàn)S:y23xx4x及點(diǎn)P(0,0),求過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)S的切線(xiàn)方程. 32正解:設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)與曲線(xiàn)S切于點(diǎn)Q(x0,y0),則過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)S的切線(xiàn)斜率 ky2x02x04,又kPQ2y0x0xx0,2x02x042y0x0。①點(diǎn) Q在曲線(xiàn)S上, y023x0x04x0.②,②代入①得 322x02x044332232x0x04x0x032 34化簡(jiǎn),得 x0x00,x00或x0.若x00,則k4,過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn) 358x.過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)S方程為y4x;若x034,則k358x. 358,過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為y的切線(xiàn)方程為y4x或y[例2]已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù),求a的取值范圍.錯(cuò)解:f(x)3ax26x1,f(x)在R上是減函數(shù),f(x)0在R上恒成立, 3ax26x10對(duì)一切xR恒成立,0,即3612a0,a3. 正解:f(x)3ax26x1,f(x)在R上是減函數(shù),f(x)0在R上恒成立, 0且a0,即3612a0且a0,a3. 例5]函數(shù)f(x)3x33ax1,g(x)f"(x)ax5,其中f"(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)對(duì)滿(mǎn)足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)(x)<0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍; (2)設(shè)a=-m2,當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=3只有一個(gè)公共點(diǎn). 解:(1)由題意gx3xax3a5 2令x3xa3x5,1a1 2對(duì)1a1,恒有g(shù)x0,即a0 3x2x201*∴即2 103xx80解得223x1 故x(2)f",1時(shí),對(duì)滿(mǎn)足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)x0.3x3x23m2 3①當(dāng)m0時(shí),fxx1的圖象與直線(xiàn)y3只有一個(gè)公共點(diǎn) ②當(dāng)m0時(shí),列表:xf",mmm,mmm,x00fx極大2極小∴fx極小fx2mm11 又∵fx的值域是R,且在m,上單調(diào)遞增 ∴當(dāng)xm時(shí)函數(shù)yfx的圖象與直線(xiàn)y3只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)xm23時(shí),恒有 fxf3由題意得mfm33即 2mm12m13解得m32,00,2綜上,m的取值范圍是32,例6、(1)是否存在這樣的k值,使函數(shù) 區(qū)間(1,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增,若存在,求出這樣的k值; (2)若間。 解:(1)由題意,當(dāng)∴由函數(shù)即整理得 時(shí)的連續(xù)性可知 ,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí) 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,試確定 的取值范圍,并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū) 解得驗(yàn)證: (Ⅰ)當(dāng)時(shí), ∴若 ,則;若,則,符合題意; (Ⅱ)當(dāng)時(shí), 顯然不合題意。 于是綜上可知,存在 (2)若若 ,則,則 使在(1,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增。 ,此時(shí) ,此時(shí) 只有一個(gè)增區(qū)間,與題設(shè)矛盾; ,與題設(shè)矛盾; 只有一個(gè)增區(qū)間 若,則 并且當(dāng)時(shí),; ∴綜合可知,當(dāng) 時(shí),時(shí), 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間: 減區(qū)間 點(diǎn)評(píng):對(duì)于(1),由已知條件得 ;增區(qū)間 ,并由此獲得k的可能取值,進(jìn)而再利用已知 條件對(duì)所得k值逐一驗(yàn)證,這是開(kāi)放性問(wèn)題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。 例7、已知函數(shù)并且極大值比極小值大4.(1)求常數(shù) 的值; ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 取得極值, (2)求 解:(1)令∵∴ 在或得方程 處取得極值為上述方程的根, 的極值。 故有∴ ,即 ∴又∵∴方程∴方程∴ 僅當(dāng) 時(shí)取得極值,的根只有 無(wú)實(shí)根, 而當(dāng)∴ 時(shí), 的正負(fù)情況只取決于 恒成立, 的取值情況 當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表: +010(1,+∞)+ 極大值極小值處取得極大值 ,在處取得極小值。 由題意得整理得 于是將①,②聯(lián)立,解得 (2)由(1)知, 點(diǎn)評(píng):循著求函數(shù)極值的步驟,利用題設(shè)條件與的關(guān)系,立足研究的根 的情況,乃是解決此類(lèi)含參問(wèn)題的一般方法,這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)方法,突出了“導(dǎo)數(shù) ”與“ 處取得極值”的必要關(guān)系。 1.已知函數(shù)f(x)ax3(2a1)x22,若x1是yf(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則a值為() A.2B.-2C. 27D.4 3222.已知函數(shù)f(x)xaxbxa在x1處有極值為10,則f(2)=.3.給出下列三對(duì)函數(shù):①f(x)1x1x,g(x)x12②f(x)ax(a0),g(x)xa ③f(x)(),g(x)log(x);其中有且只有一對(duì)函數(shù)“既互為反函數(shù),又同 3是各自定義域上的遞增函數(shù)”,則這樣的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是 f(x),g(x).324.已知函數(shù)f(x)x3ax3(a2)x1有極大值和極小值,求a的取值范圍. 25.已知拋物線(xiàn)yx2,過(guò)其上一點(diǎn)P引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l,使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限 圍成的三角形的面積最小,求l的方程. 6.設(shè)g(y)1x24xy3y4在y1,0上的最大值為f(x),xR, (1)求f(x)的表達(dá)式;(2)求f(x)的最大值. 設(shè)aR,函數(shù)f(x)ax33x2. (Ⅰ)若x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn),求a的值; (Ⅱ)若函數(shù)g(x)f(x)f(x),x[0,2],在x0處取得最大值,求a的取值范圍. 解:(Ⅰ)f(x)3ax26x3x(ax2). 因?yàn)閤2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn),所以f(2)0,即6(2a因此a1.2)0,經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a1時(shí),x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn).4分(Ⅱ)由題設(shè),g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2).當(dāng)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為g(0)時(shí), g(0)≥g(2), 即0≥20a24.故得a≤時(shí),對(duì)任意x[0,2], 65.9分 反之,當(dāng)a≤g(x)≤3x5652265x(x3)3x(x2) 3x5(2x5)(x2)≤0, (2xx10)而g(0)0,故g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為g(0). 綜上,a的取值范圍為,.12分 53已知 是函數(shù) 與的關(guān)系表達(dá)式; 的一個(gè)極值點(diǎn),其中 6(Ⅰ)求 (Ⅱ)求 (Ⅲ)當(dāng)取值范圍。 的單調(diào)區(qū)間; 時(shí),函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率恒大于3m,求的 解析:(1)本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想,第2小題要根據(jù) 的符號(hào),分類(lèi)討論 的單調(diào)區(qū)間;第3小題 是二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題,用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來(lái)表示二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上的符號(hào),體現(xiàn)出將一般性問(wèn)題特殊化的數(shù)學(xué)思想。 解答:(Ⅰ)∴∴ (Ⅱ) 是函數(shù) 的一個(gè)極值點(diǎn) ,得 的變化如下表: 0+0極大值1單調(diào)遞減極小值 單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此,的單調(diào)遞減區(qū)間是和;的單調(diào)遞增區(qū)間是 (Ⅲ)由(Ⅱ)即令 ,且 , 即m的取值范圍是4 已知函數(shù)(Ⅰ)求 (Ⅱ)設(shè)在 ,函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和值域; ,若對(duì)于任意 成立,求 的取值范圍。 ,總存 ,使得 解析:本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力,考查思維及推理能力以及運(yùn)算能力,本題入手點(diǎn)容易, (Ⅰ)中對(duì)分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問(wèn)題,往往以導(dǎo)數(shù)為工具, (Ⅱ)是三次函數(shù)問(wèn)題,因而導(dǎo)數(shù)法也是首選,若滿(mǎn)足 解: 關(guān)系,從而達(dá)到求解目的。 成立,則二次函數(shù)值域必 (Ⅰ)由得或。 ∵則, ∴, (舍去)變化情況表為: 020 10+ 因而當(dāng)當(dāng) (Ⅱ)因此因此當(dāng)又任給則 ,當(dāng) 時(shí)時(shí), 為減函數(shù);當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)?/p>; 時(shí)為增函數(shù); 為減函數(shù),從而當(dāng) ,即當(dāng) ,存在 時(shí)有時(shí)有使得 由(1)得又 或,由(2)得 的取值范圍為。 5已知,函數(shù) 取得最小值?證明你的結(jié)論; (1)當(dāng)為何值時(shí), (2)設(shè) 上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。 解析:本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力,本題(Ⅰ)常規(guī)題型,方法求(Ⅱ)由(Ⅰ) ,解上單調(diào),而 的根,列表,確定單調(diào)性,并判斷極值點(diǎn),對(duì) ,因此只要 即滿(mǎn)足題設(shè)條件,從中解出 解答:(Ⅰ)令從而 當(dāng)變化時(shí), 的范圍。 ,其中 的變化情況如下表 ∴當(dāng)而當(dāng)∴當(dāng)(Ⅱ)當(dāng) 在時(shí)時(shí)+0極大值0極小值+處取得極大值, 處取得極小值 在,當(dāng) 為減函數(shù),在 為增函數(shù) ,且 取最小值; 上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ,解得 綜上,在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件為, 的取值范圍為)。 6.已知,函數(shù) (Ⅰ)當(dāng) (Ⅱ)求函數(shù) 答案: 時(shí),求使成立的成立的的集合; 在區(qū)間上的最小值。 (Ⅰ){0,1, 友情提示:本文中關(guān)于《高考復(fù)習(xí)文科導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,高考復(fù)習(xí)文科導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。 來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理 免責(zé)聲明:本文僅限學(xué)習(xí)分享,如產(chǎn)生版權(quán)問(wèn)題,請(qǐng)聯(lián)系我們及時(shí)刪除。
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