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八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第18章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型總結(jié)復(fù)習(xí) 人教新課標(biāo)版

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八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第18章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型總結(jié)復(fù)習(xí) 人教新課標(biāo)版

第18章勾股定理復(fù)習(xí)

一.知識(shí)歸納1.勾股定理

內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;

表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2b2c2

勾股定理的由來(lái):勾股定理也叫商高定理,在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長(zhǎng)的直角邊稱為股,斜邊稱為弦.早在三千多年前,周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

2.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多,常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后,只要沒(méi)有重疊,沒(méi)有空隙,面積不會(huì)改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下:

方法一:4SS正方形EFGHS正方形ABCD,412ab(ba)2c2,化簡(jiǎn)可證.

DCHEFGbaAcB

方法二:

baaccbbccaab

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S412abc22abc2

大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

方法三:S1梯形2(ab)(ab),S梯形2SADESABE21122ab2c,化簡(jiǎn)得證

用心愛(ài)心專心

AaDbccBbEaC

3.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系,它只適用于直角三角形,對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征,因而在應(yīng)用勾股定理時(shí),必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形4.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng),求第三邊

在ABC中,C90,則ca2b2,bc2a2,ac2b2②知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題5.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2b2c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形,其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀,在運(yùn)用這一定理時(shí),可用兩小邊的平方和a2b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較,若它們相等時(shí),以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形;若a2b2c2,時(shí),以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形;若a2b2c2,時(shí),以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形;

②定理中a,b,c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式,不可認(rèn)為是唯一的,如若三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2c2b2,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形,但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí),不能說(shuō)成:當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形6.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù),即a2b2c2中,a,b,c為正整數(shù)時(shí),稱a,b,c為一組勾股數(shù)

②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù):n21,2n,n21(n2,n為正整數(shù));2n1,2n22n,2n22n1(n為正整數(shù))

mn,2mn,mn2222(mn,m,n為正整數(shù))

7.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題.在使用勾股定理時(shí),必須把握直角三角形的前提條件,了解直角三角形中,斜邊和直角邊各是什么,以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算,應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線),構(gòu)造直角三角形,以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.

8..勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形,在具體

用心愛(ài)心專心

推算過(guò)程中,應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較,切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中,是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度,二者相輔相成,完成對(duì)問(wèn)題的解決.常見(jiàn)圖形:

CCC30°ABADBBDA

CBDA

題型一:直接考查勾股定理例1.在ABC中,C90.

⑴已知AC6,BC8.求AB的長(zhǎng)⑵已知AB17,AC15,求BC的長(zhǎng)分析:直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2

題型二:應(yīng)用勾股定理建立方程例2.

⑴在ABC中,ACB90,AB5cm,BC3cm,CDAB于D,CD=⑵已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為3:4,斜邊長(zhǎng)為15,則這個(gè)三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長(zhǎng)為30cm,斜邊長(zhǎng)為13cm,則這個(gè)三角形的面積為

分析:在解直角三角形時(shí),要想到勾股定理,及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解

例3.如圖ABC中,C90,12,CD1.5,BD2.5,求AC的長(zhǎng)

CD12EAB

分析:此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)

用心愛(ài)心專心

例4.如圖RtABC,C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓,求陰影部分面積

CAB

題型三:實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹(shù),一棵高8cm,另一棵高2cm,兩樹(shù)相距8cm,一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵數(shù)的樹(shù)梢,至少飛了m

AEBDC

分析:根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,

題型四:應(yīng)用勾股定理逆定理,判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,判定ABC是否為Rt①a1.5,b2,c2.5②a54,b1,c23

例7.三邊長(zhǎng)為a,b,c滿足ab10,ab18,c8的三角形是什么形狀?

題型五:勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知ABC中,AB13cm,BC10cm,BC邊上的中線AD12cm,求證:ABAC

用心愛(ài)心專心

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新人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題

一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn):1.勾股定理

內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;

表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2b2c22.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多,常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后,只要沒(méi)有重疊,沒(méi)有空隙,面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下:

DHEFbAcGaC1方法一:4SS正方形EFGHS正方形ABCD,4ab(ba)2c2,化簡(jiǎn)可證.

2方法二:四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角1三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2大正方形面積為

2BbacabS(ab)a2abb所以abc

bc222222c111方法三:S梯形(ab)(ab),S梯形2SADESABE2abc2,化簡(jiǎn)得證

2223.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系,它只適用于直角三角形,對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。4.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng),求第三邊在ABC中,C90,

BcbaaAaDbccbEaC則ca2b2,bc2a2,ac2b2②知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題5.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2b2c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形,其中c為斜邊。①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”

來(lái)確定三角形的可能形狀,在運(yùn)用這一定理時(shí),可用兩小邊的平方和a2b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作

比較,若它們相等時(shí),以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形;

②若a2b2c2,時(shí),以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形;若a2b2c2,時(shí),以a,b,

c為三邊的三角形是銳角三角形;③定理中a,b,c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式,不可認(rèn)為是唯一的,如若三角形三邊長(zhǎng)a,b,

c滿足a2c2b2,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形,但是b為斜邊6.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù),即a2b2c2中,a,b,c為正整數(shù)時(shí),稱a,b,c為一組勾股數(shù)②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù):

n21,2n,n21(n2,n為正整數(shù));2n1,2n22n,2n22n1(n為正整數(shù))m2n2,2mn,m2n2(mn,m,n為正整數(shù))

1

7.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題.在使用勾股定理時(shí),必須把握直角三角形的前提條件,了解直角三角形中,斜邊和直角邊各是什么,以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算,應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線),構(gòu)造直角三角形,以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8.勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形,在具體推算過(guò)程中,應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較,切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中,是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度,二者相輔相成,完成對(duì)問(wèn)題

CCC30°的解決.常見(jiàn)圖形:

ABADBBDA

10、互逆命題的概念

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè),這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的逆命題。

C二、經(jīng)典例題精講

題型一:直接考查勾股定理

例題1例1.在ABC中,C90.

ADB⑴已知AC6,BC8.求AB的長(zhǎng)

⑵已知AB17,AC15,求BC的長(zhǎng)分析:直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2

題型二:利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度

例題2如果梯子的底端離建筑物9米,那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?解析:這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后,.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng),求另外一條直角邊的長(zhǎng)度,可以直接利用勾股定理!

例題3如圖(8),水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處,直立長(zhǎng)著一根蘆葦,出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米,把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B恰好落到D點(diǎn),并求水池的深度AC.

解析:x+1.5=(x+0.5)解之得x=2.題型三:勾股定理和逆定理并用

2222

例題4如圖3,正方形ABCD中,E是BC邊上的中點(diǎn),F(xiàn)是AB上一點(diǎn),且FB是直角三角形嗎?為什么?設(shè):B長(zhǎng)度為4a,那么FB=a。注:本題利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四:利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題5如圖4,已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長(zhǎng).解析:解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵!鄕=3(cm),即CE=3cm注:本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。題型五:利用勾股定理逆定理判斷垂直1AB那么△DEF4例題6如圖5,王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊,他測(cè)得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD邊與AB邊垂直嗎?怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直?(于實(shí)物一般比較大,長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。)例題7有一個(gè)傳感器控制的燈,安裝在門上方,離地高4.5米的墻上,任何東西只要移至5米以內(nèi),燈就自動(dòng)打開(kāi),一個(gè)身高1.5米的學(xué)生,要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)?解析:首先要弄清楚人走過(guò)去,是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米,可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,如圖6所示,A點(diǎn)表示控制燈,BM表示人的高度,BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)頭(B點(diǎn))距離A有5米時(shí),求BC的長(zhǎng)度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。題型六:旋轉(zhuǎn)問(wèn)題:變式1:如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的邊長(zhǎng).分析:利用旋轉(zhuǎn)變換,將△BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°,將三條線段集中到同一個(gè)三角形中,根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系,由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.

變式2、如圖,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的點(diǎn),且∠EAF=45°,試探究BE、CF、EF間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3

2題型七:關(guān)于翻折問(wèn)題

例1、如圖,矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn),將矩形紙片沿AE折疊,點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處,求BE的長(zhǎng).變式:如圖,AD是△ABC的中線,∠ADC=45°,把△ADC沿直線AD翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置,BC=4,求BC’的長(zhǎng).

題型八:關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用:例1、如圖,公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯,點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP=160米,點(diǎn)A到公路MN的距離為80米,假使拖拉機(jī)行駛時(shí),周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響,那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí),學(xué)校是否會(huì)受到影響,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果受到影響,已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí),那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少?

題型九:關(guān)于最短性問(wèn)題

例5、如右圖1-19,壁虎在一座底面半徑為2米,高為4米的油罐的下底邊沿A處,它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng),便決定捕捉這只害蟲(chóng),為了不引起害蟲(chóng)的注意,它故意不走直線,而是繞著油罐,沿一條螺旋路線,從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果,壁虎的偷襲得到成功,獲得了一頓美餐.請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)?(π取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù),可以用計(jì)算器計(jì)算)變式:如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體,把所有面都分為9個(gè)小正方形,其邊長(zhǎng)都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn),最少要花幾秒鐘?

4

勾股定理測(cè)試題

一、選擇題

1.下列各數(shù)組中,不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是()A.9,12,15B.5,12,13C.6,8,10D.3,5,7

2.分別以下列五組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng):①6,8,10;②13,5,12③1,2,3;④9,40,41;

111⑤32,42,52.其中能構(gòu)成直角三角形的有()組

A.2B.3C.4D.5

3.將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后,得到的三角形()A.可能是銳角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是鈍角三角形

4.在測(cè)量旗桿的方案中,若旗桿高為21m,目測(cè)點(diǎn)到桿的距離為15m,則目測(cè)點(diǎn)到桿頂?shù)木嚯x為(設(shè)目高為1m)()

A.20mB.25mC.30mD.35m

5.一等腰三角形底邊長(zhǎng)為10cm,腰長(zhǎng)為13cm,則腰上的高為()

A.12cmB.

C.D.

6.已知直角三角形一個(gè)銳角60°,斜邊長(zhǎng)為1,那么此直角三角形的周長(zhǎng)是()A.

533B.3C.3+2D.22

二、填空題

7.如圖,64、400分別為所在正方形的面積,則圖中字母A所代表的正方形面積是_______.

(第5題)(第6題)_

8.如圖,一根樹(shù)在離地面9米處斷裂,樹(shù)的頂部落在離底部12米處.樹(shù)折斷之前有______米.9.已知甲往東走了4km,乙往南走了3km,這時(shí)甲、乙兩人相距.

10.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12cm,對(duì)角線長(zhǎng)為13cm,則該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為.

11.以直角三角形的三邊為邊向形外作正方形P、Q、K,若SP=4,SQ=9,則Sk=.12.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5、12,則斜邊上的高為.13.在△ABC中,AB=8cm,BC=15cm,要使∠B=90°,則AC的長(zhǎng)必為_(kāi)_____cm.

三、解答題

10.假期中,小明和同學(xué)們到某海島上去探寶旅游,按照探寶圖,他們登陸后先往東走8千米,又往北走2千米,遇到障礙后又往西走了3千米,再折向北走了6千米處往東一拐,僅走了1千米就找到寶藏,問(wèn)登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米?

5

11.P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBEBP=a.求:以PE為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

的位置,若

12.已知:如圖13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC邊上的高.

13.從旗桿的頂端系一條繩子,垂到地面還多2米,小敏拉起繩子下端繃緊,剛好接觸地面,發(fā)現(xiàn)繩子下端距離旗桿底部8米,小敏馬上計(jì)算出旗桿的高度,你知道她是如何解的嗎?

13.如下圖,一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬,而他的小屋位于他的南7km東8km處,他想把他的馬牽到小河邊去飲水,然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少?

小河北A牧童東

B小屋

6

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