高中數(shù)學不等式經(jīng)典方法總結(jié)

次不等式：

一元二

一元一次不等式的解軸表示）例1、已知關于x圍．

例2．關于x的不等式

對所有實數(shù)x∈R都成立，求a的取值范圍.

例3、若關于x的不等式x2axa0的解集為(,)，則實數(shù)a的取值范圍是

______________；若關于x的不等式x2axa3的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是______________。（-4,0）,,62,

幾個重要不等式（1）若aR,則|a|0,a2x(3a)x2a1022法：（依據(jù)、步驟、注意的問題，利用數(shù)

ylog2(ax2ax1)的不等式在(2，0)上恒成立，求實數(shù)a的取值范

0

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

(4)若a、b、cR,則abab（當僅當.2a=b時取等號）一正、二定、三相等.

abc3abc（當僅當3a=b=c時取等號）

ba(5)若ab0,則2（當僅當ab

22a=b時取等號）

2|x|axaxa或xa;|x|ax(6)a0時，（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

a2axa

常用不等式

22ababab2(根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用)；（1）2211ab（2）a、b、cR，a2b2c2abbcca（當且僅當abc時，取等號）；（3）若ab0,m0，則babm（糖水的濃度問題）。如am如果正數(shù)a、b滿足abab3，則ab的取值范圍是_________（答：9,）常用不等式的放縮法：①1n1111112(n2)n1n(n1)nn(n1)n1n②n1n性

1nn112n1nn1nn1(n1)利用函數(shù)的單調(diào)

簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，

并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)20。（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）設函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)0的解集為{x|1x2}，g(x)0的解集為，則不等式f(x)g(x)0的解集為______（答：(,1)[2,)）；

（4）要使?jié)M足關于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,)）分式不等式的解法：先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式

中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如（1）解不等式

5x1（答：(1,1)(2,3)）；

x22x3axb0的解x2818（2）關于x的不等式axb0的解集為(1,)，則關于x的不等式集為_____（答：(,1)(2,)）.絕對值不等式的解法：

（1）分段討論法（最后結(jié)果應取各段的并集）：如x1x2＞a在xR上有解,則a的取值范圍是（,3）（2）利用絕對值的定義；xa(a0)axa，xa(a0)xa或xa（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）

（4）兩邊平方：如若不等式|3x2||2xa|對xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______。（答：{}）

含參不等式的解法：求解通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.

如（1）若loga1，則a的取值范圍是__________（答：a1或0a）；

ax2x(aR)（2）解不等式

ax1

234323（答：a0時，{x|x0}；a0時，{x|x或x0}；a0時，{x|x0}或x0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關于x的不等式axb0的解集為(,1)，則不等式含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b異號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

x20的解集為__________（答：（－1,2））axb1a1a如設f(x)x2x13，實數(shù)a滿足|xa|1，求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)

不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用

函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxmaxB

如（1）設實數(shù)x,y滿足x2(y1)21，當xyc0時，c的取值范圍是______（答：21,）；（2）不等式x4x3a對一切實數(shù)x恒成立，a1）求實數(shù)a的取值范圍_____（答：；

（3）若不等式2x1m(x21)對滿足m2的所有m都成立，則x的取值范圍_____（答：（

7131,））；22(1)n1（4）若不等式(1)a2對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

nn_____（答：[2,)）；

（5）若不等式x22mx2m10對0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍（.答：

m1）2322).能成立問題

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxA成立,則等價于在區(qū)間D上fxmaxA；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxB成立,則等價于在區(qū)間D上的fxminB.如已知不等式（答：a1）

兩個重要函數(shù)：|x||x1|3函數(shù)y=x+練習：

1、已若x1，求23x1x9y145的最小值．已知x＜，求函數(shù)y=4x-2+的最大值

4x5x14x4x3a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍____

1x2、知x,yR且1，則xy的最小值是_____________．若x2y1，則2x4y的最小值是______

3、知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題：若ab0，bcad0，則若bcad0，

cacadcd0；若ab0，0，則bcad0babd0，則ab0其中正確命題是（）b

(x1)24f(x)(x1)x14.求函數(shù)的最小值.

5、求證：11111123422x(1x)2x(1x)(1x)()2232n222327二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線l:ax+by+c=0把直角坐標平面分成了三個部分：（1）直線l上的點（x,y）的坐標滿足ax+by+c=0

（2）直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x,y）的坐標都滿足ax+by+c>0（3）直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x,y）的坐標滿足ax+by+cxy30x2y50例3、已知實數(shù)x,y滿足，則y2x的最大值是_________.x0y01、點P（x，y）在直線4x+3y=0上，且滿足－14≤x－y≤7，則點P到

坐標原點距離的取值范圍是（）A.[0，5]

B.[0，10]C.[5，10]D.[5，15]

xy2≤0，y2．已知變量x，y滿足約束條件x≥1，則的取值范圍是（）

xy7≤0，xA．B．36，,6，6，C．，5599D．[3，6]

x2y10，2xy3,3.設D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點P（x,y）到直線x+y=10距離0x4,y1的最大值是.

x1,4.已知xy10,則x2y2的最小值是.

2xy20例1．C;例2.A;例3、___0_____.1、B;2.A;3.42;4.5;

擴展閱讀：高中數(shù)學不等式方法總結(jié)

幾個重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當僅當a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當僅當a=b時取等號）一正、二定、三相等.

2(4)若a、b、cR,則abc3abc（當僅當a=b=c時取等號）3

ba(5)若ab0,則2（當僅當a=b時取等號）

ab

|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa(6)a0時，（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

常用不等式

22ababab2(根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用)；（1）2211ab222（2）a、b、cR，abcabbcca（當且僅當abc時，取等號）；

（3）若ab0,m0，則

bbm（糖水的濃度問題）。如aam如果正數(shù)a、b滿足abab3，則ab的取值范圍是_________（答：9,）

11111常用不等式的放縮法：①112(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)利用函數(shù)的單調(diào)性

簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的

系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶

彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）設函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)0的解集為{x|1x2}，g(x)0的解集為，則不等式f(x)g(x)0的解集為______（答：(,1)[2,)）；

2（4）要使?jié)M足關于x的不等式2x9xa0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式

2x24x30和x26x80中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,81)）8分式不等式的解法：先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后

用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如（1）解不等式

5x1（答：(1,1)(2,3)）；

x22x3axb0的解集為_____（答：x2（2）關于x的不等式axb0的解集為(1,)，則關于x的不等式

(,1)(2,)）.絕對值不等式的解法：

（1）分段討論法（最后結(jié)果應取各段的并集）：如x1x2＞a在xR上有解,則a的取值范圍是（,3）（2）利用絕對值的定義；xa(a0)axa，xa(a0)xa或xa

（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）

（4）兩邊平方：如若不等式|3x2||2xa|對xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______。（答：{}）

含參不等式的解法：求解通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.如（1）若loga43221，則a的取值范圍是__________（答：a1或0a）；33ax2x(aR)（2）解不等式

ax1

（答：a0時，{x|x0}；a0時，{x|x11或x0}；a0時，{x|x0}或x0}）aax20的解

axb提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關于x的不等式axb0的解集為(,1)，則不等式集為__________（答：（－1,2））含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b異號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

如設f(x)xx13，實數(shù)a滿足|xa|1，求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)

不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）

1).恒成立問題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxmaxB

22如（1）設實數(shù)x,y滿足x(y1)1，當xyc0時，c的取值范圍是______（答：21,）；

2（2）不等式x4x3a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍_____（答：a1）；

（3）若不等式2x1m(x1)對滿足m2的所有m都成立，則x的取值范圍_____（答：（

27131,））；22(1)n13（4）若不等式(1)a2對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_____（答：[2,)）；

2nn2（5）若不等式x2mx2m10對0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍.（答：m1）22).能成立問題若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxA成立,則等價于在區(qū)間D上fxmaxA；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxB成立,則等價于在區(qū)間D上的fxminB.如

已知不等式x4x3a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍____（答：a1）兩個重要函數(shù)：|x||x1|3函數(shù)y=x+練習：

1、已若x1，求23x2、知x,yR且

1x514的最小值．已知x＜，求函數(shù)y=4x-2+的最大值

44x5x1191，則xy的最小值是_____________．若x2y1，則2x4y的最小值是______xy3、知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題：若ab0，bcad0，則若bcad0，cdcd0；若ab0，0，則bcad0ababcd0，則ab0其中正確命題是（）ab

(x1)24f(x)(x1)4.求函數(shù)的最小值.x1

5.求證：11111123422x(1x)2x(1x)(1x)()2232n222327

二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線l:ax+by+c=0把直角坐標平面分成了三個部分：（1）直線l上的點（x,y）的坐標滿足ax+by+c=0

（2）直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x,y）的坐標都滿足ax+by+c>0（3）直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x,y）的坐標滿足ax+by+c例題分析：

x0例1．若A為不等式組y0表示的平面區(qū)域，則當a從－2連續(xù)變化到1時，動直線xya掃過A中的那部

yx2分區(qū)域的面積為()

A．

37B．1C．D．5442xy20例2.如果點P在平面區(qū)域xy20上，點O在曲線x2(y2)21上，

2y10那么|PQ|的最小值為（）

(A)

431(C)221(D)21(B)

25xy30x2y50例3、已知實數(shù)x,y滿足，則y2x的最大值是_________.

x0y01、點P（x，y）在直線4x+3y=0上，且滿足－14≤x－y≤7，則點P到

坐標原點距離的取值范圍是（）A.[0，5]B.[0，10]C.[5，10]D.[5，15]

xy2≤0，y2．已知變量x，y滿足約束條件x≥1，則的取值范圍是（）

xy7≤0，xA．,6B．，6，36，C．，5599D．[3，6]

x2y10，2xy3,3.設D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點P（x,y）到直線x+y=10距離的最大值是.

0x4,y1x1,224.已知xy10,則xy的最小值是.

2xy20例1．C;例2.A;例3、___0_____.1、B;2.A;3.42;4.5;

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