對《小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略》的學習總結(jié)

對《小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略》的學習總結(jié)發(fā)布者：邱文杰發(fā)布時間：201*-11-2420:38:33

對《小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略》的

學習總結(jié)

通過學習周愛東教授的講課，做為一名小學數(shù)學教師，我有很深的觸動。在當今和未來社會中，人們面對紛繁復雜的信息經(jīng)常需要作出選擇和判斷，進而進行推理、作出決策。新的數(shù)學課程標準認為：學生應"經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力"。由此可見猜測是發(fā)展數(shù)學，學好數(shù)學的重要方式之一。

長期以來數(shù)學教學注重采用“形式化”的方式發(fā)展學生的論證推理能力，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)。應當指出，數(shù)學需要論證推理，更需要合情推理。波利亞指出：“論證推理是可靠的、無可置疑的和終決的。合情推理是冒風險的、有爭議的和暫時的�！蹦敲�，為什么還要在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的合情推理能力呢？

首先，是實施新課標的需要�！稊�(shù)學課程標準》中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，并指出：第一學段“初步學會選擇有用的信息進行簡單的歸納和類比”，第二學段“進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力”，第三學段“體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。

其次，是由小學生的認知特點決定的。鑒于小學生的年齡與認知特點，他們不可能通過具有嚴格標準的邏輯推理來發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學原理和概念。因此，在小學數(shù)學教材中大量地采用了像數(shù)學猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。

再次，是學生學習數(shù)學的過程要求。數(shù)學學習本質(zhì)是學生的再創(chuàng)造。數(shù)學知識的學習并不是簡單的接受，而必須以再創(chuàng)造的方式進行。

通過對小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略的學習。首先了解到在小學數(shù)學教學中，構(gòu)建良好的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。邏輯推理在教與學過程中的應用中，一是新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應的聯(lián)系。1.下位關(guān)系演繹推理2.上位關(guān)系歸納推理3.并列關(guān)系類比推理新舊知識的三種聯(lián)系與三類推理相呼應，不是一種巧合，是知識結(jié)構(gòu)本身科學的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運用邏輯推理的原則可以將學生的認識結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性，新知識的固定點、生長點。數(shù)學教學更富有科學意義。

對在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力的策略的學習，主要包括：（一）新知識轉(zhuǎn)化舊知識的學習中，溝通的策略。（二）習得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。（三）在學習新知時，關(guān)鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的策略。要求我們教師在關(guān)鍵處點撥；在觀察中引發(fā)思考。在確定思考方向處教師應設問點撥。（四）設計開放練習，培養(yǎng)學生推理能力的策略。要求追根尋源；估算要有方法；整體考慮。(五）構(gòu)建可操作的教學模式，培養(yǎng)學生推理能力的策略。在今后的教學中，試著用感知、猜想、驗證、結(jié)論、推廣應用五步教學法。我們教師，應該抓住適當?shù)臅r機，設計恰當?shù)慕虒W內(nèi)容，讓學生積極參加與數(shù)學活動，體會數(shù)學知識的形成過程，讓學生感悟到推理的方法和效能。

數(shù)學教學與思維密切相關(guān)，數(shù)學能力具有和一般能力不同的特性，因此，發(fā)展數(shù)學思維能力是數(shù)學教學的重要任務，我們在發(fā)展學生數(shù)學思維能力的努力中，不僅要考慮到能力的一般要求，而且還要深入研究數(shù)學科學、數(shù)學活動和數(shù)學思維的特點，尋求數(shù)學活動的規(guī)律，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。小學數(shù)學教學的目的，不僅在于傳授知識，讓學生學習、理解、掌握數(shù)學知識，更要注重教給學生學習的方法，培養(yǎng)學生思維能力和良好的思維品質(zhì)，這是全面提高學生素質(zhì)的需要。

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小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略

【課程簡介】

《小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略》這一專題從專家和一線教師的視角對“如何在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力策略”進行了深入的剖析，從“推理能力”在《數(shù)學課程標準》中的具體描述、在數(shù)學課堂教學中培養(yǎng)學生哪些推理能力，以及具體做法，培養(yǎng)學生推理能力策略等四個方面進行了詳盡的闡述。尤其通過具體的實例幫助一線教師認識如何在數(shù)學課堂教學中培養(yǎng)學生的推理能力。通過此專題將對教師教學觀念的轉(zhuǎn)變，教師專業(yè)化的發(fā)展起到促進作用。

【學習要求】

1.知道“推理能力”在《數(shù)學課程標準》中的具體描述。知道歸納推理、演繹推理和類比推理。

2.能對課堂教學實例中“推理能力”培養(yǎng)的做法與效果進行分析與評價；3.探索一些數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力的策略，并運用與課堂教學。

教師團隊

【主講教師】

周愛東：北京市特級教師。市先進工作者、經(jīng)濟技術(shù)創(chuàng)新標兵，中央教科所課題科研先進個人，中國數(shù)學會先進個人。①指導教師參加市小學專任教師基本技能大賽，取得學科高年級組團體第一名。②指導教師市評優(yōu)課五節(jié)，三節(jié)獲一等獎。市公開課十節(jié)。６篇教案在市級以上刊物發(fā)表。五人獲全國評優(yōu)課一、二等獎，四節(jié)課由中央廣播電視大學音像出版社出版。８人評為市骨干。③參加中央教科所科研課題的研究，順義區(qū)評為全國先進集體，在年會上做了經(jīng)驗交流。④五篇論文獲市級以上獎，三十余篇文章發(fā)表在《數(shù)學教學》報和《中小學數(shù)學》雜志上。參與編寫數(shù)學思維訓練的論著和電子出版物６套。

【互動教師】

孫寶香：北京市順義區(qū)教育研究考試中心小學數(shù)學教研員，北京市數(shù)學學科帶頭人，北京市基礎教育課程改革先進個人，北京市優(yōu)秀教師。指導教師參加市小學專任教師基本技能大賽，取得學科高年級組團體第一名。多次指導教師參加全國、北京市評優(yōu)課獲獎，先后有多篇論文獲全國、北京市一、二等獎，在報刊、雜志上發(fā)表多篇文章。

魯靜華：北京市順義區(qū)光明小學數(shù)學教師，順義區(qū)小學數(shù)學骨干教師。先有后4篇論文案例發(fā)表在《教學案例》等雜志上，有5篇案例入選《小學數(shù)學課堂教學小策略實用精品庫》一書，并有多篇論文獲國家、市、區(qū)級一、二、三等獎。承擔了“教育部201*年遠程培訓項目《小學數(shù)學》培訓課程”研制工作和“中國教師培訓網(wǎng)”的示范課和單元備課指導工作，并多次承擔市、區(qū)級研究課。

陳春芳：北京市順義區(qū)石園小學教師。被評為中國教育學會“成長中的名師”、北京市紫禁杯優(yōu)秀班主任，北京市順義區(qū)數(shù)學骨干教師，獲得得北京市青年教師基本功展示一等獎。先后有多篇論文獲掛國家、北京市一、二等獎。多篇論文在報刊、雜志上發(fā)表。

專題講座

小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略周愛東順義區(qū)教育研究考試中心

小學生在數(shù)學課上學習一點有關(guān)推理的知識，是《課標》指定的一個重要教學內(nèi)容。在《課標》（修改稿）的第三頁倒數(shù)第一行，就有明確的規(guī)定：“在數(shù)學教學中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”《課標》還具體地作出了解釋“推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在小學階段，主要學習合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為“不完全歸納推理”。

一、知識結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系

在小學數(shù)學教學中，構(gòu)建良好的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系�！倍�知識體系因為其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構(gòu)成的。

“數(shù)學作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的”。這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結(jié)構(gòu)所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。

例如：在教學正方形面積計算公式時,我們通過演繹推理得到的：長方形面積＝長×寬正方形長＝寬因此得出正方形面積＝邊長×邊長

數(shù)學中的這種推理形式一旦被學生所熟識，他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。

二、邏輯推理在教與學過程中的應用

根據(jù)奧蘇貝爾的認知同化理論，學生知識的習得和構(gòu)建，主要依賴認知結(jié)構(gòu)中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新舊知識的互相聯(lián)系，形成新的認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學知識學習過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應的聯(lián)系。

1.下位關(guān)系演繹推理2.上位關(guān)系歸納推理3.并列關(guān)系類比推理（一）下位關(guān)系演繹推理

如果原有的認知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時，那么宜適當運用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。

“演繹的實質(zhì)就是認為每一特殊（具體）情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應用于哪個對象。

例如：由四條線段圍成的圖形叫做四邊形。

長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線段圍成的圖形。那么這些圖形都是四邊形。

再如：

兩種量分別用x和y表示，若y/x＝k（一定），則x和y是成正比例的量。

同圓中周長比半徑＝2π（一定）。同圓中周長和半徑是成正比例的量。當學生理解這種推理的順序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學會使用這樣的語言：

只有兩個因數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；101只有兩個因數(shù)；101是質(zhì)數(shù)。

那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。

在知識層面中，這種類屬過程的多次進行，就導致知識不斷產(chǎn)生新的層次，其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴密，新的知識也就會不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹推理的手段組織學習過程，不但能培養(yǎng)學生的思考方法，理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學生的模式辨認能力，縮短推理過程，快速找到解題途徑。

比如：運用乘法分配律簡便運算時，學生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎，才能實現(xiàn)簡算。

a×c＋b×c＝(a＋b)×c

對比題：

99×99＋99×1＝99×(99＋1)=990099×99＋9919×86＋14×26＝19×(86＋14)

（二）上位關(guān)系歸納推理

如果原有認識結(jié)構(gòu)已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識，即新舊知識建立上位聯(lián)系時，那么適當運用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當需要研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀察和試驗，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結(jié)論、推論）。

例如：在學習兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)時，先讓學生列舉出多個兩個奇數(shù)相加的例子，最后得出兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)的結(jié)論。

1和2互質(zhì)，1和3互質(zhì)，1和4互質(zhì)→1和任意一個自然數(shù)互質(zhì)。2和3互質(zhì)，3和4互質(zhì)，4和5互質(zhì)→相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。3和5互質(zhì)，5和7互質(zhì)，7和9互質(zhì)→相鄰的兩個奇數(shù)互質(zhì)。教材中關(guān)于概念的形成，運算法則和運算定律、性質(zhì)得出，一般是通過歸納推理得到的。運用歸納推理傳授知識時，要根據(jù)學生的實際經(jīng)驗，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結(jié)論。又要用這個“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教與學的進程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的，它們緊密交織在一起。

（三）并列關(guān)系類比推理

如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系，又不能產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新知識同原有知識有某種吻合關(guān)系或類比關(guān)系，則新舊知識間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運用類比推理。

教材中，商不變性質(zhì)和分數(shù)基本性質(zhì)，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分數(shù)的乘法等，學習這類與舊知識處于并列結(jié)合關(guān)系的新知識時，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行40千米，0.3小時行了多少千米？”時，學生還無法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以，教學中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系來類推。

新舊知識的三種聯(lián)系與三類推理相呼應，不是一種巧合，是知識結(jié)構(gòu)本身科學的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運用邏輯推理的原則可以將學生的認識結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性，新知識的固定點、生長點。數(shù)學教學更富有科學意義。

三、在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力的策略（一）新知識轉(zhuǎn)化舊知識的學習中，溝通的策略。（二）習得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。（三）在學習新知時，關(guān)鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的策略。（四）設計開放練習，培養(yǎng)學生推理能力的策略。（五）構(gòu)建可操作的教學模式，培養(yǎng)學生推理能力的策略。（一）新知識轉(zhuǎn)化舊知識的學習中，溝通的策略

1．立體圖形的體積計算，分為兩個階段，長、正方體體積；圓柱、圓錐的體積。學習了圓柱體積計算之后，可以把長方體，正方體，圓柱都看成是柱體，他們的體積都可以用底面積乘高來計算。

如圖，它們的體積公式可以統(tǒng)一成（V＝sh）。

2．學習了小數(shù)除法，要溝通整數(shù)除法中有余數(shù)的除法，和小數(shù)除法的關(guān)系。

例如：教師設計的開放練習；

甲數(shù)除以乙數(shù)的商是12，余數(shù)是8，如果商用小數(shù)表示是12.5，那么甲數(shù)是（），乙數(shù)是（）。

（二）學了新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略學習了分解質(zhì)因數(shù)之后，可以深化整除的概念。

A＝2×3×5；B＝2×3×5因為我們知道B包含A的所有因數(shù)，那么B是A的倍數(shù)，A是B的因數(shù)。

質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，是依據(jù)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)多少來分類建立概念的。學習了分解質(zhì)因數(shù)的概念后，學生又認識到，任何一個合數(shù)都可以表示成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式。教師應及時深化概念。從新的角度看舊知。

（三）在學習新知時，關(guān)鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的策略1．關(guān)鍵處點撥：

案例：商不變的性質(zhì)教學片段。

首先是計算：80÷4=（）÷（）學生都能找到一個正確答案，方法無一例外都是先算出商20，然后想哪兩個數(shù)相除商是20，學生很難將兩個算式中的被除數(shù)和除數(shù)建立起聯(lián)系。

第二是觀察：我寫出一組算式：20÷2=1040÷4=1080÷8=10，

讓學生說說發(fā)現(xiàn)了什么？

學生都發(fā)現(xiàn)了商沒變，被除數(shù)和除數(shù)變了，具體說說怎樣變了？有的學生說被除數(shù)增加了，除數(shù)也增加了，有的學生說被除數(shù)擴大了，除數(shù)也擴大了，學生習慣上從上向下觀察，從直觀上感知被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了變化，增加了或擴大了，但對于被除數(shù)和除數(shù)變化之中的內(nèi)在聯(lián)系卻很難發(fā)現(xiàn)。

如何讓學生主動探求被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律，并有所發(fā)現(xiàn)呢？我通過對情境的加工，提取出數(shù)學實例，學生在觀察、猜想、驗證、反思等學習過程中，運用不完全歸納法總結(jié)出商不變的性質(zhì)，從而豐富學生探索規(guī)律的數(shù)學活動經(jīng)驗。

我充分利用教材中猴王分桃子的情境：

3只小猴子，猴王給了6個桃子，小猴子說不夠不夠，每人才2個桃子，太少了。猴王說：“少？沒關(guān)系，我有神奇寶盒，那給你們變一變，”

猴王利用寶盒變成：60個桃子分給30個小猴子，600個桃子分給300只小猴子。

600和300，你們猜結(jié)果怎樣？真讓你們猜對了小猴子還是覺得少，奇怪了，桃子明明是越變越多了，小猴子為什么還說不夠呢？學生很容易發(fā)現(xiàn)雖然桃子也就是被除數(shù)多了，分給猴子的只數(shù)也就是除數(shù)也多了，每個人分得的桃子也就是商沒變。

真是神奇，被除數(shù)和除數(shù)同時都變了，商竟然沒變，那是不是不管被除數(shù)和除數(shù)怎樣變，商都不變呢？

提出猜想：你認為被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生怎樣的變化，商就能不變呢？

2．在觀察中引發(fā)思考。

3．在確定思考方向處教師應設問點撥

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿�，F(xiàn)在這兩種小蟲共18只，共有118條腿。問蜘蛛有幾只？

列表解答雞兔問題，可以從中間設數(shù)枚舉。但是下一個數(shù)需要思考。確定試算的方向。教師應設問點撥。（四）設計開放練習，培養(yǎng)學生推理能力的策略。1．追根尋源:

如果下圖中圓的面積等于長方形的面積，那么圓的周長（）長方形的周長。

A.等于B.大于C.小于

圓的周長是16.4厘米，陰影部分的周長是多少厘米？

陰影部分的周長等于圓的周長加1/4圓周＝16.4×（1＋1/4）=20.5厘米。2．估算要有方法。

三位同學晨練，張華5分鐘走了351米，李明2分鐘走了131米，陸宇3分鐘走了220米，（）走得最快。

A.張華B.李明C.陸宇

李明＋陸宇＝張華。張華１分鐘大約走了70米，李明1分鐘走路不足70米。所以陸宇走路最快。

3．整體考慮：

用下面的三個圖形可以拼成一個軸對稱圖形，把拼法畫在下面的網(wǎng)格中，并畫出所拼圖形的對稱軸。

三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向，沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是8

橫向：3＋5＝8層次：易。縱向：２＋３＋３＝８層次：易。

三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向，沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是8

45°方向：0.5＋3.5＋4＝8層次：難。

45°方向：2.5＋3.5＝6每部分＋2＝8層次：難。（五）構(gòu)建可操作的教學模式，有效發(fā)展推理能力案例：感知、猜想、驗證、結(jié)論、推廣應用五步教學法

三年級學生學習了乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法后，為了激發(fā)學生的學習的興趣，使體驗到數(shù)學計算中的趣味與魅力，在提高學生的計算能力的同時有意識地培養(yǎng)學生的推理能力，我們可以設計一些題組，清晰地呈現(xiàn)題組間邏輯關(guān)系，為學生提供充分觀察思考的思維空間，讓學生在經(jīng)歷觀察、感知、猜想、驗證結(jié)論、推廣應用的數(shù)學活動中，培養(yǎng)學生比較、分析、概括、探究等能力，發(fā)展學生的數(shù)學思考能力。

1.利用題組，初步感知規(guī)律

先計算下列乘法算式的乘積，然后再認真觀察：你有什么發(fā)現(xiàn)？

學生通過計算后發(fā)現(xiàn)：

因數(shù)的特點：1.一個因數(shù)都是67

2.一個因數(shù)數(shù)12,15,18都是3的倍數(shù)積的特點：1、積的前兩位數(shù)都是后兩位數(shù)的2倍。2.根據(jù)發(fā)現(xiàn)，提出猜想

是不是只要是3的倍數(shù)與67相乘，它們的乘積就可能具有這個2倍的關(guān)系呢？

3.結(jié)合實例，驗證猜想

這時教師為學生提供如下的算式，讓學生親自對猜想加以驗證：練習：

通過計算以上題組加以驗證，學生會發(fā)現(xiàn)自己的猜想得到了驗證。那為什么這些乘法算式的結(jié)果會呈現(xiàn)有趣的2倍的關(guān)系呢？會不會是3倍、4倍呢？

4.明晰道理，提升認識3×67=201

看來這些算式的乘積：前兩位數(shù)是后兩位數(shù)的2倍，一定與67、以及3的倍數(shù)有關(guān)，于是在充分談論的基礎上明晰道理，提升認識。

奧秘在于：所以：

概括推理，得出結(jié)論：

一個兩位數(shù)與67相乘，如果這個數(shù)是3的倍數(shù)，那么乘積的前兩位數(shù)一定是后兩位數(shù)的2倍。

5.拓展結(jié)論，再次推理

你能根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù)自己設計一些有意思的題組，使它們的乘積也具有一些特殊性嗎？

如：教師課提供一些材料：特殊的數(shù)是37，37×3=111.37×27=999利用倍數(shù)關(guān)系輕松計算。

12×34=24×34=36×34=51×34=63×34=14×43=21×43=28×43=35×43=91×43=如果說通過演繹推理可以培養(yǎng)學生的運算能力、空間想象能力和嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，那么通過合情推理則可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實踐能力。因此可以說，推理是發(fā)展和培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的基礎和必要條件，是21世紀新型人才應當具有的素質(zhì)。

作為一名數(shù)學教師應當抓住時機，設計恰當?shù)慕虒W內(nèi)容，讓學生積極地參與數(shù)學活動，體會數(shù)學知識的形成過程，讓學生感悟到推理的方法和效能，充分展現(xiàn)人的想象能力、抽象能力，充分展現(xiàn)人的智慧。

互動對話

【參與人員】

孫寶香：北京市順義區(qū)教育研究考試中心魯靜華：北京市順義區(qū)光明小學陳春芳：北京市順義區(qū)石園小學

【互動話題】

1.在數(shù)與代數(shù)中培養(yǎng)學生的推理能力

推理能力貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。按數(shù)學內(nèi)容領域：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個板塊來介紹在教學中如何培養(yǎng)學生的推理能力的具體做法和老師們展開互動交流。

在“數(shù)與代數(shù)”的教學中，計算要依據(jù)一定的規(guī)則、公式、法則、推理律等，因而計算中有推理，現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系往往有其自身的規(guī)律。對于代數(shù)運算不僅要求會運算，而且要求明白算理，能說出運算中每一步依據(jù)所涉及的概念運算律和法則，代數(shù)不能只重視會熟練地正確地運算和解題，而應充分挖掘其推理的素材，以促進思維的發(fā)展和提高。

教師在教學過程中，應該設計適當?shù)幕顒�，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律、猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力，并通過實例，使學生逐步意識到結(jié)論的正確性需要演繹推理得到確認，根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。

2.在“空間與圖形”中培養(yǎng)合情推理能力

有序的推理不但能幫助學生建立起空間觀念，而且使抽象的內(nèi)容形象化，使思維的過程有一個內(nèi)化的過程，使學生的思考過程更為嚴謹。

根據(jù)小學生年齡的特點，合情推理的過程對于他們來說，更容易接受，較容易思考。因為合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。給歸納推理一個支點，培養(yǎng)學生的推理能力。教學活動應多從歸納推理、統(tǒng)計推理、以及類比推理三種推理形式中，多給學生提供探索、交流的空間、創(chuàng)設探索情境，組織、引導學生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、歸納、類比、統(tǒng)計”等數(shù)學活動過程，使學生的合情推理能力得到發(fā)展。

3.在統(tǒng)計與概率中培養(yǎng)學生合情推理能力

結(jié)合在統(tǒng)計與概率的內(nèi)容，主要培養(yǎng)學生合情推理能力。把合情推理置于解決問題的情境中，有助于引導學生根據(jù)統(tǒng)計圖，進行簡單的分析、展開合情推理，猜測某些結(jié)論。通過實例，使學生逐步意識到結(jié)論的正確性需要經(jīng)過推理才能得到確認。

4.在綜合與實踐中分享學生的推理策略復習課分享數(shù)學推理策略案例：復習課《因數(shù)和倍數(shù)》

以“因數(shù)和倍數(shù)”單元為例：由于這部分內(nèi)容較為抽象，很難結(jié)合生活實例或具體情境來進行教學，學生理解起來有一定的難度。在教學中，往往忽視概念的本質(zhì)，而是讓學生死記硬背相關(guān)概念或結(jié)論，學生無法理清各概念間的前后承接關(guān)系，達不到融會貫通的程度。導致學生在學習這部分知識時覺得枯燥乏味，體會不到初等數(shù)論的抽象性、嚴密性和邏輯性，感受不到數(shù)學的魅力。所以在單元復習時，加強對概念間相互關(guān)系的梳理，引導學生從本質(zhì)上理解概念，避免死計硬背，利用知識間的聯(lián)系進行推理，從而更好的理解深化運用知識。

案例評析【案例信息】

案例名稱：《三角形邊的關(guān)系》

講課教師：孫貴合（北京市大興區(qū)北京小學分校）評析教師：周愛東（順義區(qū)教育研究考試中心）【課堂實錄】【案例評析】

本節(jié)課有以下幾個特點：

1.創(chuàng)設有挑戰(zhàn)性的數(shù)學活動，為推理培育土壤

本節(jié)課研究的是三角形邊的關(guān)系，給學生一條標著刻度的16厘米長的膠片，讓學生將它剪成三段后圍三角形。給學生一個開放的問題，學生在動手剪和圍三角形的過程中浸潤著思考。學生在努力圍成三角形，能圍成的學生在思考，這樣就圍成三角形了；不能圍成的圖形在思考，怎么圍不成呢？怎么第三條線段的尾就是夠不著第一條線段的頭呢？正是好的活動，為學生之后的推理培育了土壤。2.話越說越清，理越辯越明

在學生匯報交流階段，老師將學生剪成的三段膠片的長度記錄在黑板上。一組是能圍成三角形的，一組是不能圍成三角形的。教師還著重處理了臨界的情況，也就是兩邊之和等于第三邊的情況，學生在觀察的基礎上用數(shù)據(jù)說話，學生知道兩邊之和等于第三邊時鼓不起來，也就成不了三角形。對于能圍成和不能圍成的情況，學生通過觀察，而且是伴隨著思考的觀察，逐步清晰地認識到是否能圍成要看最長邊和兩條短邊的關(guān)系，最長邊的長度要小于兩天短邊之和才能圍成三角形。

在對話的過程中，學生從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納推斷結(jié)果，正是經(jīng)歷了合情推理的過程。

3.豐富的練習，運用推理的結(jié)果

本節(jié)課中設計了很好的練習題目，在練習的過程中，學生運用著推理的結(jié)果，并對結(jié)果的認識益發(fā)深入。

思考與活動【思考與活動】

1.結(jié)合一節(jié)課堂教學實例，分析推理能力是怎樣培養(yǎng)的。

2.選擇恰當內(nèi)容，設計一節(jié)感知、猜想、驗證、結(jié)論、推廣應用五步教學法的教學案例。

參考資料

小學數(shù)學教學中邏輯規(guī)律的引入

逐步發(fā)展學生初步的邏輯思維能力是小學數(shù)學教學的主要任務之一。結(jié)合教學內(nèi)容科學地、有意識地將邏輯規(guī)律引進教學，在教學過程中加以滲透，既有利于小學生掌握數(shù)學基礎知識和基本技能，又能培養(yǎng)他們的初步邏輯思維能力。

一、知識結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系

在小學數(shù)學教學中，構(gòu)建良好的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系。”而知識體系因為其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構(gòu)成的。

“數(shù)學作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的�！边@種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結(jié)構(gòu)所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。如學習“能同時被2、5整除的數(shù)的特征”時，我們是通過演繹推理得到的：

所有能被2整除的數(shù)的末尾是0、2、4、6、8；所有能被5整除的數(shù)的末尾是0、5；因此，能同時被2、5整除的數(shù)的末尾是0。

數(shù)學中的這種推理形式一旦被學生所熟識，他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。

學生知識的習得和構(gòu)建，主要依賴認知結(jié)構(gòu)中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新上知識的互相聯(lián)系，形成新的認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學知識學習過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應的聯(lián)系。推理，是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有：演繹推理（從一般性的前提推出特殊性結(jié)論的推理）；歸納推理（從特殊的前提推出一般結(jié)論的推理）；類比推理（從特殊的前提推出特殊結(jié)論的推理或從一般前提推出一般結(jié)論的推理）。如：教學“循環(huán)小數(shù)”時，先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333、70.7÷33=2.14242、299÷37=8.081081等。觀察各式的商學生們直觀認識到：小數(shù)有有限小數(shù)、無限小數(shù)之分。進而從一組無限小數(shù)中，發(fā)現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性，得到了循環(huán)小數(shù)的定義。由兩個或幾個單稱判斷10.333的數(shù)字3依次不斷地重復出現(xiàn)，2.14242的數(shù)字42依次不斷重復出現(xiàn)等，得出一個新的全稱判斷（循環(huán)小數(shù)的定義）是歸納推理的一種方法。

在教學的過程中，教師結(jié)合教學內(nèi)容，有意識地把邏輯規(guī)律引入教學，注意示范、點撥，顯然是有利于發(fā)展學生的邏輯思維能力。

二、邏輯推理在教與學過程中的應用

1.如果原有的認知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時，那么宜適當運用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。

“演繹的實質(zhì)就是認為每一特殊（具體）情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應用于哪個（轉(zhuǎn)載自中國教育文摘，請保留此標記。）對象。如：運用乘法分配律簡便運算時，學生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎，才能得出：

999×999+999=999×(999+1)=999000

這里999×999+999=999×(999+1)是根據(jù)一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當學生理解這種推理的順序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學會使用這樣的語言：

只有兩個約數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；101只有兩個約數(shù)；101是質(zhì)數(shù)。

那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。

在知識層面中，這種類屬過程的多次進行，就導致知識不斷產(chǎn)生新的層次，其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴密，新的知識也就會不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹推理的手段組織學習過程，不但能培養(yǎng)學生的思考方法，理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學生的模式辨認能力，縮短推理過程，快速找到解題途徑。

在新舊知識建立下位聯(lián)系時，整個類屬過程可分化為兩種情況。(1)當新知識從屬于舊知識時，新知識只是舊知識的派生物�？梢詮脑�有認識結(jié)構(gòu)中直接推衍。新知識可以直接納入原有的認知結(jié)構(gòu)中。

如學生已學過兩位數(shù)的筆算，清晰而穩(wěn)固地掌握了加法的計算法則，現(xiàn)在要學三、四位數(shù)的加法，只要讓學生思考并回憶兩位數(shù)加法計算的表象結(jié)構(gòu)，適當?shù)攸c撥一下三、四位數(shù)加法與兩位數(shù)加法有相同的筆算法則，學生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化，并使原有筆算法則得到充實新的知識獲得意義。雖然這些知識的外延得到擴大，但內(nèi)涵不變。

教學中，掌握這些知識的內(nèi)涵的邏輯結(jié)構(gòu)，就會有一個清晰的教學思路，就會自覺地運用演繹推理的手段，與學生一起愉快地順利地進行下位學習。就不會在講三、四位數(shù)加法時，著眼于竭力以三、四位數(shù)加法為例證，說明加法的計算法則。

(2)新知識類屬于原有較高概括性的觀念中，但不能從原有上位觀念中直接派生出來，而需要對原有知識作部分的改組，才能同化新知識。新知識納入原有知識后，原有知識得到擴展、加深、限制、修飾和精確化。新舊知識之間處于相關(guān)類屬。這時，運用演繹推理之前，先要對原有知識作部分改組，請出一個“組織者”，再步步演繹。（為新知識生長提供觀念上的“固定點”，增加新舊知識間的可辨性，充當新舊知識聯(lián)系的“認知橋梁”，奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。）

如學生已掌握了長方形面積計算公式：S=ab，現(xiàn)在要學習正方形的面積計算公式，這就要對長方形進行改組，把它的長改成與寬相等(a=b)，于是“正方形面積計算”可被“長方形面積計算”同化，當a=b時，S=ab=aa=a[2,]。又如教圓面積之前，向?qū)W生演示或讓學生動手操作，把圓適當分割后拼成近似長方形，由長方形面積公式導出圓面積計算公式。其間以直代曲，是由舊知識導向新知識的認知橋梁，是由演繹推理構(gòu)建新知識時，找到的觀念上固定點。找到固定點后圓面積的計算被長方形面積同化，于是面積計算規(guī)則從直線封閉圖形的計算，推廣到曲線封閉圖形的計算，擴展加深了對原有面積計算規(guī)則的認識內(nèi)容，使有關(guān)面積計算的認識結(jié)構(gòu)趨向精確化。

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