高二數(shù)學圓錐曲線：拋物線知識點整理和總結

專題九拋物線

一.基本概念

1.拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和一條定直線的距離相等的點的軌跡。其中：定點為拋物線的焦點，定直線叫做準線。2.拋物線的標準方程、圖象及幾何性質(zhì)：p0

標準方程l焦點在x軸上，開口向右y2焦點在x軸上，開口向左y2px2焦點在y軸上，開口向上x2焦點在y軸上，開口向下x22px2py2pyyPxOFPylxFOlyPFOy軸lyOFx圖形xPO(0,0)頂點對稱軸焦點離心率準線

二．例題分析

【例1】（河西區(qū)201*高考一模）已知雙曲

xa22x軸F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1xp2xp2yp2yp2yb221a0,b0的一個頂點與拋物線

y20x的焦點重合，該雙曲線的離心率為

252，則該雙曲線的漸近線斜率為（）

A2B43C12D34

【例2】（南開區(qū)201*年高三一模）若拋物線y2px的焦點與雙曲線焦重合，則p的值為（）

A3B-3C6D-6

2x26y231的左

【變式1】（河北區(qū)201*年高三三模）已知拋物線y245x的焦點和雙曲線xa22yb221(a0,b0)的一個焦點重合，且雙曲線的離心率e52，則雙曲線的方程為

（）A

【變式2】（201*年第三次六校聯(lián)考）.已知雙曲線

xa22x216y291B

x29y2161Cx2y241D

x24y291

yb221的離心率為2，它的一個焦

點與拋物線y28x的焦點相同，那么雙曲線的漸近線方程為--------------------------------

【例3】.（201*年天津一中高三第五次月考）已知拋物線y22pxp0的焦點F為雙

xa22曲線yb221a0,b0的一個焦點，經(jīng)過兩曲線交點的直線恰好過點F，則該雙曲

線的離心率為（）A2B

【例4】（201*年天津文）已知雙曲線

xa2221C3D

31

yb221(a0,b0)的左頂點與拋物線

y2px(p0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的準線的交點

2坐標為（-2，-1），則雙曲線的焦距為（）

A．23B．25C．43D．45【例5】（201*年天津文）已知雙曲線

xa22yb221(a0,b0)的一條漸近線方程是y3x，

它的一個焦點與拋物線y216x的焦點相同。則雙曲線的方程為。

【變式1】（201*年天津理）已知雙曲線

xa22yb221(a0,b0)的一條漸近線方程是y=

3x,它的一個焦點在拋物線y224x的準線上，則雙曲線的方程為（）

（A

x236y21081（B

x29y2271（C）

x2108y2361（D）

x227y291

【變式2】（201*陜西理）設拋物線的頂點在原點，準線方程為x2，則拋物線的方程是。

【例6】（201*年福建）已知雙曲線

x24yb221的右焦點與拋物線y212x的焦點重合，

則該雙曲線的焦點到漸近線的距離為_________.

【變式1】（201*年安徽）過拋物線y4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，若AF3，則三角形AOB的面積為________.

【例7】（201*遼寧理）已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，AFBF=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A．

34B．1C．

54D．

74

【變式1】（201*年天津理）已知拋物線的參數(shù)方程為

x2pty2pt2（t為參數(shù)，p>0）,焦點

為F，準線為l，過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|=|MF|，點M的橫坐標是3，則p=_________.

【變式2】（201*山東文）設M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是（）A．(0，2)

【變式3】（201*年四川）已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點

M2,y0，若點M到拋物線焦點距離為3，則OM長度________.

B．[0，2]C．(2，+∞)D．[2，+∞)

擴展閱讀：拋物線題及知識點總結

一、拋物線的定義及其應用

[例1]設P是拋物線y2＝4x上的一個動點．

(1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

例2、．(201*山東高考)設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()

A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)．

二、拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)

例3、拋物線y＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、

2

B兩點，交準線于C點，點A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則△AKF的面積是()A．4B．33C．43D．8

[悟一法]

1.求拋物線的標準方程常采用待定系數(shù)法，未知數(shù)只有p，可利用題中已知條件確定p的值．注意到拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．

2.涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征．

例4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3則此拋物線的方程為()39

A．y2＝xB．y2＝9xC．y2＝xD．y2＝3x

22

三、拋物線的綜合問題

[例5](201*江西高考)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為22的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M點到拋物線C的焦點F的1

距離為2，直線l：y＝－x＋b與拋物線C交于A，B兩點．

2(1)求拋物線C的方程；

(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程．

練習題

1．已知拋物線x2＝ay的焦點恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點，則a等于()

A．1B．4C．8

D．16

2．拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()

A．－

1716

157B．－C.

1616

2D.1516

3．(201*遼寧高考)已知F是物線y＝x的焦點，A，B是該物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()3

A.425

B．1C.

4

7D.4

4．已知拋物線y＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是()

A．相離

B．相交C．相切

D．不確定

5．(201*宜賓檢測)已知F為拋物線y2＝8x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于()A．42

A、B兩點，則||FA|－|FB||的值等于

D．16

B．8C．82

6．在y＝2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點

P的坐標是()

A．(－2,1)C．(2,1)

B．(1,2)D．(－1,2)

7．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．16

8．(201*陜西高考)設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()

A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x

9．(201*永州模擬)以拋物線x2＝16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________．

10．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(－3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________．

11．已知拋物線y＝4x與直線2x＋y－4＝0相交于A、B兩點，拋物線的焦點為

F，那么|FA|＋|FB|＝________.

2

12．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________13．根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：

(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；(2)過點P(2，－4)．

14．已知點A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標原點，過點

A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量OMπ

與OP的夾角為，求△POM的面積．

4

一、拋物線的定義及其應用

[例1]設P是拋物線y2＝4x上的一個動點．

(1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

[自主解答](1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x＝－1.由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離．于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(－1,1)的距離與點P到

F(1,0)的距離之和最小．顯然，連結AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF|，即為5.

(2)如圖，自點B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值為4.例2、．(201*山東高考)設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()

A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)

解析：圓心到拋物線準線的距離為p，即p＝4，根據(jù)已知只要|FM|>4即可．根據(jù)拋物線定|FM|＝y(tǒng)0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，＋∞)．

二、拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)

例3、拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、

B兩點，交準線于C點，點A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則△AKF的面積是()A．4B．33C．43D．8

設點A(x1，y1)，其中y1>0.由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為B1.則有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝ππCBB1＝.即直線AB與x軸的夾角為.

335

|BB1|1

＝，∠|BC|pπ

又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝23，

2311

因此△AKF的面積等于|AK|y1＝423＝43.22[悟一法]

1.求拋物線的標準方程常采用待定系數(shù)法，未知數(shù)只有p，可利用題中已知條件確定p的值．注意到拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．

2.涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征．

例4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3則此拋物線的方程為()3

A．y2＝xB．y2＝9x

29

C．y2＝xD．y2＝3x

2

解析：分別過點A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分別為A1、B1，由已知條件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F為線段AC的中點．故13

點F到準線的距離為p＝|AA1|＝，故拋物線的方程為y2＝3x.

22三、拋物線的綜合問題

[例5](201*江西高考)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為22的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，從而A(1，－22)，B(4,42)；

設OC＝(x，y)＝(1，－2

33

2)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．3＝8x3，即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.

例6、(201*湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，

B，l與軌跡C相交于點D，E，求ADEB的最小值

2

妙解](1)設動點P的坐標為(x，y)，由題意有x－12

＋y2－|x|＝1.化簡得

y2＝2x＋2|x|.當x≥0時，y2＝4x；當x例7．已知點M(1，y)在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，M點到拋物線C的焦點F的1

距離為2，直線l：y＝－x＋b與拋物線C交于A，B兩點．

2(1)求拋物線C的方程；

(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程．

解：(1)拋物線y2＝2px(p>0)的準線為x＝－，由拋物線定義和已知條件可知

2

|MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2,故所求拋物線C的方程為y＝4x.

22

ppp2

y＝－1x＋b，2(2)聯(lián)立y＝4x2

消去x并化簡整理得y＋8y－8b＝0.

2

依題意應有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2

＝－8，y1y2＝－8b，設圓心Q(x0，y0)，則應用x0＝

x1＋x2

2

，y0＝

y1＋y2

2

＝－4.

因為以AB為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r＝|y0|＝4.又|AB|＝5[x1－x22

2

＋y1－y22

＝1＋4

y1－y22

＝

y1＋y2－4y1y2]＝564＋32b64＋32b所以|AB|＝2r＝58

＝8，解得b＝－.5

48，5

所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝則圓心Q的坐標為(

2424

，－4)．故所求圓的方程為(x－)2＋(y＋4)2＝16.55

1．已知拋物線x2＝ay的焦點恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點，則a等于()

A．1B．4C．8

D．16

解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點坐標為(0，)，雙曲線的上焦點為(0,2)，

4依題意則有＝2解得a＝8.

4

aa2．拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()

A．－

1716

157B．－C.

1616

D.15

16

y12

解析：拋物線方程可化為x＝－，其準線方程為y＝.設M(x0，y0)，則由

416115

拋物線的定義，可知－y0＝1y0＝－.1616

3．(201*遼寧高考)已知F是物線y2＝x的焦點，A，B是該物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()3

A.45

B．1C.

4

7D.4

解析：根據(jù)物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為：11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝.24244

4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是()

A．相離

B．相交C．相切

D．不確定

解析：設拋物線焦點弦為AB，中點為M，準線l，A1、B1分別為A、B在直線

l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝(|AA1|＋|BB1|)11

＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半徑，故相切．22

5．(201*宜賓檢測)已知F為拋物線y＝8x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于()

A．42

B．8C．82

D．16

212

A、B兩點，則||FA|－|FB||的值等于

y＝x－2，

解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為y＝x－2由2

y＝8x

，消去y得x2－12x＋4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝144－16＝82.6．在y＝2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點

2

P的坐標是()

A．(－2,1)C．(2,1)

B．(1,2)D．(－1,2)

2

解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x的準線，F(xiàn)為其焦點，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當且僅當A、P、N三點共線時取

等號．∴P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1，則可排除A、C、D.答案：B7．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．16

8．(201*陜西高考)設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()

A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x

解析：由準線方程x＝－2，可知拋物線為焦點在x軸正半軸上的標準方程，同時得p＝4，所以標準方程為y2＝2px＝8x9．(201*永州模擬)以拋物線x2＝16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________．

解析：拋物線的焦點為F(0,4)，準線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的方程為x2＋(y－4)2＝64.

10．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(－3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________．

解析：設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)，則準線為y＝－.∵Q(－3，m)在拋

4物線上，∴9＝am.而點Q到焦點的距離等于點Q到準線的距離，

aa99a∴|m－(－)|＝5.將m＝代入，得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，

4aa4∴所求拋物線的方程為x＝±2y，或x＝±18y.

11．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交于A、B兩點，拋物線的焦點為

F，那么|FA|＋|FB|＝________.

22

y2＝4x解析：由

2x＋y－4＝0

，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的兩根

為A、B兩點的橫坐標，故x1＋x2＝5，因為拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，所

以|FA|＋|FB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7

12．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________

解析：因線段AB過焦點F，則|AB|＝|AF|＋|BF|.又由拋物線的定義知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

13．根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2

－9y＝144的左頂點；(2)過點P(2，－4)．

解：雙曲線方程化為－＝1，左頂點為(－3,0)，由題意設拋物線方程為

916

2

x2y2

py2＝－2px(p>0)，則－＝－3，∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x.

2

(2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線對稱軸為坐標軸，可設拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入P點坐標求得m＝8，n＝－1，∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.

14．已知點A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標原點，過點

A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量OMπ

與OP的夾角為，求△POM的面積．

4

解：設點M(，y1)，P(，y2)，

44

∵P，M，A三點共線，∴kAM＝kPM，即

y21y22

y1y2

1

＝4

＋1

y1－y2y11

＝，∴y1y2＝4.22，即2

y1y2y1＋4y1＋y24－4

444

y2y2π12

∴OMOP＝＋y1y2＝5.∵向量OM與OP的夾角為，π1π5∴|OM||OP|cos＝5.∴S△POM＝|OM||OP|sin＝.

4242

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