高一數學必修1函數知識點總結

函數

映射定義：設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：B為從集合A到集合B的一個映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個變量x,y,并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，定義按照某個對應關系f,y都有唯一確定的值和它對應。那么y就是x的函數。記作yf(x).近代定義：函數是從一個數集到另一個數集的映射。定義域函數及其表示函數的三要素值域對應法則解析法函數的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調性導數定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；函數函數的基本性質最值（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數yf(x)的最大值最小值：設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數N滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數，其圖象關于原點對稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數，其圖象關于y軸對稱。奇偶函數的定義域關于原點對稱周期性：在函數f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數)則f(x)叫做周期函數，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期（1）描點連線法：列表、描點、連線向左平移個單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個單位：yy,xaxyf(xa)11平移變換向上平移b個單位：xx,y11byybf(x)向下平移b個單位：x1x,y1byybf(x)橫坐標變換：把各點的橫坐標x1縮短（當w1時）或伸長（當0w1時）到原來的1/w倍（縱坐標不變），即xwxyf(wx)1伸縮變換縱坐標變換：把各點的縱坐標y伸長（A1)或縮短（0A1)到原來的A倍1函數圖象的畫法（橫坐標不變），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x12x0x2）變換法關于點(x,y)對稱：2y0yf(2x0x)00yy12y0y12y0y關于直線xx0對稱：xx12x0x12x0xyf(2x0x)yy1y1y對稱變換xx1xx關于直線yy0對稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx11yf(x)關于直線yx對稱：yy1一、函數的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數大于等于零；3、對數的真數大于零；4、指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；5、三角函數正切函數ytanx中

xk2(kZ)；余切函數ycotx中；6、如果函數是由實際意義確定的解析式，應

依據自變量的實際意義確定其取值范圍。二、函數的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數法；4、函數方程法；5、參數法；6、配方法三、函數的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調性法；7、直接法

四、函數的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法五、函數單調性的常用結論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數，則f(x)g(x)在這個區(qū)間上也為增（減）函數

2、若f(x)為增（減）函數，則f(x)為減（增）函數

3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則yf[g(x)]是增函數；若f(x)與g(x)的單調性不同，則yf[g(x)]是減函數。

4、奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反。

5、常用函數的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。

六、函數奇偶性的常用結論：

1、如果一個奇函數在x0處有定義，則f(0)0，如果一個函數yf(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個奇（偶）函數之和（差）為奇（偶）函數；之積（商）為偶函數。3、一個奇函數與一個偶函數的積（商）為奇函數。

4、兩個函數yf(u)和ug(x)復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該復合函數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。5、若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)可以表示為

f(x)12[f(x)f(x)]12[f(x)f(x)]，該式的特點是：右端為一個奇函數和

一個偶函數的和。

mn根式：a,n為根指數，a為被開方數nmnaa分數指數冪arasars(a0,r,sQ)指數的運算rsrs指數函數性質(a)a(a0,r,sQ)rrs(ab)ab(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數yax(a0且a1)叫做指數函數。指數函數性質：見表1對數：xlogaN,a為底數，N為真數loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數MloglogaMlogaN;a.N對數的運算性質nlogaMnlogaM;(a0,a1,M0,N0)對數函數logcblogab(a,c0且a,c1,b0)換底公式：logac對數函數定義：一般地把函數ylogax(a0且a1)叫做對數函數性質：見表1冪函數定義：一般地，函數yx叫做冪函數，x是自變量，是常數。性質：見表2

表1

指數函數yaxa0,a1-3-

對數數函數ylogaxa0,a定義域值域xRx0,y0,yR圖象過定點(0,1)減函數x(,0)時，y(1,)x(0,)時，y(0,1)過定點(1,0)增函數x(,0)時，y(0,1)x(0,)時，y(1,)減函數x(0,1)時，y(0,)x(1,)時，y(,0)增函數x(0,1)時，y(,0)x(1,)時，y(0,)性質abababab表2pq冪函數yx(R)00111p為奇數q為奇數奇函數p為奇數q為偶數p為偶數q為奇數增函數偶函數第一象限性質減函數（0，1）過定點

擴展閱讀：高一數學必修一第一章集合與函數知識點總結[1]

高一數學必修1各章知識點總結

第一章集合與函數概念

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰

洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1）列舉法：{a,b,c……}2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2

=－5｝二、集合間的基本關系1.包含關系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．相等關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={x|x2

-1=0}B={-1,1}元素相同則兩集合相等即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1

個真子集三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設S是一個集合，A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個子集，由S中的集合,叫做A,B的組成的集合，叫做A,B所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子交集．記作AB（讀的并集．記作：AB集A的補集（或余集）作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），即

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AB=｛x|xA，且xB｝．AB={x|xA，或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩圖示SS記作CSA，即ABABA圖1圖2(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．AA=A性AΦ=ΦAB=BAABA質ABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.

2

4.設集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若∩C=Φ，求m的值

2222

學實驗做得

B∩C≠Φ，A

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各

第2頁共5頁部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；

②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數軸表示．5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f（對應關系）：A（原象）B（象）

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：

○

1任取x1

，x2

∈D，且x1

○

2利用圖象求函數的最大（小）值○

3利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數的定義域：⑴yx22x15⑵

x33y1(x12x1)2.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則函數f(x2)的定義域為__

3.若函數f(x1)的定義域為[2，3]，則函數f(2x1)的定義域是

x4.函數f(x)2(x1)x2(1x2)，若f(x)3，則x=2x(x2)5.求下列函數的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數f(x1)x24x，求函數f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函數

f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。

8.設f(x)是R上的奇函數，且當x[0,)時,f(x)x(13x),則當x(,0)時f(x)=

f(x)在R上的解析式為9.求下列函數的單調區(qū)間：⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x1

10.判斷函數yx31的單調性并證明你的結論．211.設函數f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．1x2x

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