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九年級下數(shù)學教學總結(jié)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-26 20:37:44 | 移動端:九年級下數(shù)學教學總結(jié)

九年級下數(shù)學教學總結(jié)

九年級下學期數(shù)學教學反思

黃尾中心學校王小華

新的課程標準的實行需要我們用新的理念對傳統(tǒng)的教學模式、教學方法、教學手段等進行改革。數(shù)學課堂如何體現(xiàn)新理念呢?通過這一年的九年級數(shù)學教學,我從課堂教學的時間、地點、人物三個方面進行了反思。

一、時間:是否一定要按固定的程序進行

現(xiàn)象:數(shù)學課我們經(jīng)常沿襲的時間結(jié)構(gòu)是復習(5分鐘)、新授(20分鐘)、鞏固(10分鐘)、作業(yè)(7分鐘)、小結(jié)(3分鐘)。舉行教研活動時,在上課前有經(jīng)驗的老教師常千叮嚀萬囑咐年輕教師要“卡”好節(jié)奏,千萬別拖堂。

分析與反思:

現(xiàn)行的教材都是分課時編寫,通常每課時的任務(wù)必須在一節(jié)課內(nèi)完成。多數(shù)教師對每節(jié)課的內(nèi)容、任務(wù)、進程都具體以時間順序來分解,有時怕完不成任務(wù),學生在關(guān)鍵處及易混易錯處發(fā)生分歧時,不敢花過多的時間讓學生爭辯交流,生怕“節(jié)外生枝”,過分講究課堂教學環(huán)節(jié)的絲絲入扣,教師往往在一節(jié)課的各個階段,按“套路”引領(lǐng)學生一步一步去“走教案”就行了。這種課看上去緊湊,但缺少一種動態(tài)生成,往往以犧牲學生學習的積極主動性為代價,弊病很多。我認為教學任務(wù)是否完成不在于課上講了多少,而要看學生學得如何。只要有利于學生學習積極性的調(diào)動和學生發(fā)展,固定的課堂教學時間結(jié)構(gòu)可以打破,無需每個環(huán)節(jié)都要安排。只要課堂上學生學得活潑、主動,重點思路掌握了,不會的問題解決了,即使設(shè)計的教學內(nèi)容或書上的練習沒完成,或由于學生對某個內(nèi)容探究的欲望很強,教師打破教材課時的限制,根據(jù)學生的需要靈活地處理教學結(jié)構(gòu)而拖堂了,都不能以時間把握不準而一律認為不是一節(jié)好課。二、地點:學生學習數(shù)學的空間難道僅在教室

現(xiàn)象:九年級上第四章-視圖與投影的教學中,對投影這部分內(nèi)容,教師往往也只在教室中,畫出基本圖形后,利用光學的基本知識,傳授學生如何得到影子,或者根據(jù)影子得到實物及尋找光源等。例:一個正方形的紙片在陽光下的影子是什么形狀?教師往往怕麻煩,只在教室作講解,最多提醒學生課后自己試驗。實際上,這樣的問題實際操作一下,可能能夠起到更多更好的效果說的小一點,可能對這個問題的答案永生難忘;說的大一點,可能就此引起了學生對學習數(shù)學、科學甚至探索大自然的興趣。

分析與反思:

受傳統(tǒng)的教學方式中過分強調(diào)技能技巧的訓練與抽象的邏輯推理的影響,加上現(xiàn)在的考試評價體系對學生的動手操作、社會調(diào)查能力難以考查,我們有些老師還很難將課堂真正開放。他們認為數(shù)學學習的目標就是教會學生解答數(shù)學習題,因而學生學習的空間往往局限在教室里。

數(shù)學教學的目標不僅僅是為了讓學生學到一些知識,更重要的是要讓學生學會運用數(shù)學的知識、思維與方法,解決現(xiàn)實的問題,同時感受到數(shù)學的意義和價值。我們要樹立一種“大數(shù)學”教學觀,這就要求我們教學的空間要開放,不僅要在課堂教學時努力體現(xiàn)“從問題情境出發(fā),建立模型、應(yīng)用與推廣”基本流程,通過觀察、操作、思考、交流等活動逐步增強學生的應(yīng)用意識,使學生認識到數(shù)學與現(xiàn)實的世界的聯(lián)系,更重要的是應(yīng)安排多種可供選擇的教學活動,如課前的調(diào)查和實驗,課后的數(shù)學探究和實踐活動,寫數(shù)學日記等。讓學生在社會實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學、探究數(shù)學、體驗數(shù)學及掌握數(shù)學。三、人物:究竟誰應(yīng)是課堂的主角

現(xiàn)象:課上學生討論交流得最熱烈時,教師提高嗓門喊道:請大家安靜,聽我來講。學生極不情愿地正襟危坐,恭聽教師教誨。課間辦公室里教師在互相訴苦:現(xiàn)在學生越來越不聽講了,你講得口干舌燥,他們在下面卻是嘰嘰喳喳,充耳不聞。分析與反思:

傳統(tǒng)教學意義上的教學知識與技能的傳授,強調(diào)教師對教學的絕對控制,注重接受式的教學方式,學生基本上是聽講記憶練習再現(xiàn)教師傳授的知識。學生只要把教師講得記下來,考試時準確地將所學內(nèi)容寫到卷子上,就算完成了學習任務(wù)。因此教師對學生的要求是“傾聽”。“聽”和“練”成了學生最重要的學習方法,學生成了學習知識的容器,而不是一個主動探索者和創(chuàng)建者

我認為數(shù)學學習是指學生自己建構(gòu)數(shù)學知識的活動,學生應(yīng)當成為主動探索知識的“建構(gòu)者”而不是“模仿者”。教學應(yīng)當促進學生主體的主動建構(gòu),離開了學生積極主動的學習,教師講得再好,也會經(jīng)常出現(xiàn)“教師講完了,學生仍不會”的現(xiàn)象。我們要改變教師包攬課堂的做法,在組織教學的每一個環(huán)節(jié)時,都應(yīng)當有意識地體現(xiàn)學生是課堂的主角,多給學生自主探索、合作交流等活動的機會,多讓學生“做”數(shù)學。教師要從信息源與知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生學習的促進者和引導者,就應(yīng)巧妙地把自己轉(zhuǎn)向幕后,把學生推向臺前,把課堂還給學生,讓學生成為課堂真正的主角。

二一一年六月十日

擴展閱讀:人教版九年級下冊數(shù)學教案

.第二十六章二次函數(shù)

[本章知識要點]

1.探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.

2.結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學模型的意義,并了解二次函數(shù)的有關(guān)概念.

3.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象,能通過圖象和關(guān)系式認識二次函數(shù)的性質(zhì).

4.會運用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸.5.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程(組)的近似解.6.會通過對現(xiàn)實情境的分析,確定二次函數(shù)的表達式,并能運用二次函數(shù)及其性質(zhì)解決簡單的實際問題.

26.1二次函數(shù)

[本課知識要點]

通過具體問題引入二次函數(shù)的概念,在解決問題的過程中體會二次函數(shù)的意義.[MM及創(chuàng)新思維]

(1)正方形邊長為a(cm),它的面積s(cm2)是多少?

(2)矩形的長是4厘米,寬是3厘米,如果將其長與寬都增加x厘米,則面積增加y平方厘米,試寫出y與x的關(guān)系式.

請觀察上面列出的兩個式子,它們是不是函數(shù)?為什么?如果是函數(shù),請你結(jié)合學習一次函數(shù)概念的經(jīng)驗,給它下個定義.[實踐與探索]

例1.m取哪些值時,函數(shù)y(m2m)x2mx(m1)是以x為自變量的二次函數(shù)?

分析若函數(shù)y(m2m)x2mx(m1)是二次函數(shù),須滿足的條件是:

m2m0.

解若函數(shù)y(m2m)x2mx(m1)是二次函數(shù),則m2m0.解得m0,且m1.

因此,當m0,且m1時,函數(shù)y(m2m)x2mx(m1)是二次函數(shù).回顧與反思形如yax2bxc的函數(shù)只有在a0的條件下才是二次函數(shù).

探索若函數(shù)y(m2m)x2mx(m1)是以x為自變量的一次函數(shù),則m取哪些值?

例2.寫出下列各函數(shù)關(guān)系,并判斷它們是什么類型的函數(shù).

(1)寫出正方體的表面積S(cm2)與正方體棱長a(cm)之間的函數(shù)關(guān)系;(2)寫出圓的面積y(cm2)與它的周長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系;

(3)某種儲蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不計利息,求本息和y(元)與所存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系;

(4)菱形的兩條對角線的和為26cm,求菱形的面積S(cm2)與一對角線長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系.解(1)由題意,得S6a2(a0),其中S是a的二次函數(shù);

x2(x0),其中y是x的二次函數(shù);(2)由題意,得y40x≥0且是正整數(shù)),(3)由題意,得y100001.98%x1000(

其中y是x的一次函數(shù);

11(4)由題意,得Sx(26x)x213x(0x26),其中S是x的二

22次函數(shù).

例3.正方形鐵片邊長為15cm,在四個角上各剪去一個邊長為x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一個無蓋的盒子.

(1)求盒子的表面積S(cm2)與小正方形邊長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當小正方形邊長為3cm時,求盒子的表面積.

15解(1)S1524x22254x2(0x);

2(2)當x=3cm時,S225432189(cm2).[當堂課內(nèi)練習]

1.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?(1)yx20(3)yx21x(2)y(x2)(x2)(x1)2

(4)yx22x3

22.當k為何值時,函數(shù)y(k1)xkk1為二次函數(shù)?

3.已知正方形的面積為y(cm2),周長為x(cm).

(1)請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)判斷y是否為x的二次函數(shù).[本課課外作業(yè)]

A組

1.已知函數(shù)y(m3)xm27是二次函數(shù),求m的值.

2.已知二次函數(shù)yax2,當x=3時,y=-5,當x=-5時,求y的值.

3.已知一個圓柱的高為27,底面半徑為x,求圓柱的體積y與x的函數(shù)關(guān)系式.若圓柱的底面半徑x為3,求此時的y.

4.用一根長為40cm的鐵絲圍成一個半徑為r的扇形,求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數(shù)關(guān)系式.這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎?請寫出半徑r的取值范圍.

B組

5.對于任意實數(shù)m,下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是()

A.y(m1)2x2B.y(m1)2x2C.y(m21)x2D.y(m21)x2

6.下列函數(shù)關(guān)系中,可以看作二次函數(shù)yax2bxc(a0)模型的是()

A.在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時間的關(guān)系

B.我國人口年自然增長率為1%,這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系C.豎直向上發(fā)射的信號彈,從發(fā)射到落回地面,信號彈的高度與時間的關(guān)系(不計空氣阻力)D.圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系[本課學習體會]

26.2用函數(shù)觀點看一元二次方程(第一課時)

教學目標

(一)知識與技能1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系,理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數(shù)和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h(h是實數(shù))交點的橫坐標.

(二)過程與方法1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)新精神.2.通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù),討論一元二次方程的根的情況,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想.

3.通過學生共同觀察和討論.培養(yǎng)大家的合作交流意識.(三)情感態(tài)度與價值觀1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造.感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論的確定性,2.具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力.教學重點

1.體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數(shù)和沒有實根.3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h(h是實數(shù))交點的橫坐標.教學難點

1.探索方程與函數(shù)之間的聯(lián)系的過程.

2.理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系.教學過程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課

1.我們學習了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)后,討論了它們之間的關(guān)系.當一次函數(shù)中的函數(shù)值y=0時,一次函數(shù)y=kx+b就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函數(shù))y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b=0的解.

現(xiàn)在我們學習了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),它們之間是否也存在一定的關(guān)系呢?

2.選教材提出的問題,直接引入新課Ⅱ.合作交流解讀探究

1.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系探究:教材問題師生同步完成.

觀察:教材22頁,學生小組交流.

歸納:先由學生完成,然后師生評價,最后教師歸納.Ⅲ.應(yīng)用遷移鞏固提高

1.根據(jù)二次函數(shù)圖像看一元二次方程的根同期聲

2.拋物線與x軸的交點情況求待定系數(shù)的范圍.

3.根據(jù)一元二次方程根的情況來判斷拋物線與x軸的交點情況Ⅳ.總結(jié)反思拓展升華

本節(jié)課學了如下內(nèi)容:

1.經(jīng)歷了探索二次函數(shù)與一元:二次方程的關(guān)系的過程,體會了方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解了二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)

與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系,理解了何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實根和沒有實根.

3.數(shù)學方法:分類討論和數(shù)形結(jié)合.

反思:在判斷拋物線與x軸的交點情況時,和拋物線中的二次項系數(shù)的正負有無關(guān)系?拓展:教案

Ⅴ.課后作業(yè)P231.3.5

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)

[本課知識要點]

會用描點法畫出二次函數(shù)yax2的圖象,概括出圖象的特點及函數(shù)的性質(zhì).[MM及創(chuàng)新思維]

我們已經(jīng)知道,一次函數(shù)y2x1,反比例函數(shù)y是、

,那么二次函數(shù)yx2的圖象是什么呢?

(1)描點法畫函數(shù)yx2的圖象前,想一想,列表時如何合理選值?以什么數(shù)為中心?當x取互為相反數(shù)的值時,y的值如何?(2)觀察函數(shù)yx2的圖象,你能得出什么結(jié)論?[實踐與探索]

例1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象,并指出它們有何共同點?有何不同點?

(1)y2x2解列表x-318-28-8-12-201*12-228-8318(2)y2x2

3的圖象分別xy2x2y2x2-18-18分別描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,這兩個函數(shù)的圖

象都是拋物線,如圖26.2.1.

共同點:都以y軸為對稱軸,頂點都在坐標原點.

不同點:y2x2的圖象開口向上,頂點是拋物線的最低點,在對稱軸的左邊,

曲線自左向右下降;在對稱軸的右邊,曲線自左向右上升.

y2x2的圖象開口向下,頂點是拋物線的最高點,在對稱軸的左邊,

曲線自左向右上升;在對稱軸的右邊,曲線自左向右下降.

回顧與反思在列表、描點時,要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性,因為圖象是拋物線,因此,要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接.

例2.已知y(k2)xk2k4是二次函數(shù),且當x0時,y隨x的增大而增大.

(1)求k的值;

(2)求頂點坐標和對稱軸.

k2k42解(1)由題意,得,解得k=2.

k20(2)二次函數(shù)為y4x2,則頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸.例3.已知正方形周長為Ccm,面積為Scm2.(1)求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫出圖象;(2)根據(jù)圖象,求出S=1cm2時,正方形的周長;(3)根據(jù)圖象,求出C取何值時,S≥4cm2.分析此題是二次函數(shù)實際應(yīng)用問題,解這類問題時要注意自變量的取值范圍;畫圖象時,自變量C的取值應(yīng)在取值范圍內(nèi).

1解(1)由題意,得SC2(C0).

16列表:C2468119SC2141644描點、連線,圖象如圖26.2.2.(2)根據(jù)圖象得S=1cm2時,正方形的周長是4cm.

(3)根據(jù)圖象得,當C≥8cm時,S≥4cm2.回顧與反思

(1)此圖象原點處為空心點.

(2)橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母C、S,不要習慣地寫成x、y.

(3)在自變量取值范圍內(nèi),圖象為拋物線的一部分.[當堂課內(nèi)練習]

1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象,并分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

1(1)y3x2(2)y3x2(3)yx2

322.(1)函數(shù)yx2的開口,對稱軸是,頂點坐標是;

31(2)函數(shù)yx2的開口,對稱軸是,頂點坐標

4是.

3.已知等邊三角形的邊長為2x,請將此三角形的面積S表示成x的函數(shù),并畫出圖象的草圖.[本課課外作業(yè)]

A組

1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象.

1(1)y4x2(2)yx2

42.填空:

(1)拋物線y5x2,當x=時,y有最值,是.(2)當m=時,拋物線y(m1)xm(3)已知函數(shù)y(k2k)xk時,y隨x的增大而增大.3.已知拋物線ykxk2k1022m開口向下.

2k1是二次函數(shù),它的圖象開口,當x

中,當x0時,y隨x的增大而增大.

(1)求k的值;(2)作出函數(shù)的圖象(草圖).

4.已知拋物線yax2經(jīng)過點(1,3),求當y=9時,x的值.

B組

5.底面是邊長為x的正方形,高為0.5cm的長方體的體積為ycm3.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)畫出函數(shù)的圖象;(3)根據(jù)圖象,求出y=8cm3時底面邊長x的值;(4)根據(jù)圖象,求出x取何值時,y≥4.5cm3.6.二次函數(shù)yax2與直線y2x3交于點P(1,b).

(1)求a、b的值;

(2)寫出二次函數(shù)的關(guān)系式,并指出x取何值時,該函數(shù)的y隨x的增大而減

。

7.一個函數(shù)的圖象是以原點為頂點,y軸為對稱軸的拋物線,且過M(-2,2).(1)求出這個函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象;

(2)寫出拋物線上與點M關(guān)于y軸對稱的點N的坐標,并求出MON的面積.

[本課學習體會]

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)

[本課知識要點]

會畫出yax2k這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質(zhì).[MM及創(chuàng)新思維]

同學們還記得一次函數(shù)y2x與y2x1的圖象的關(guān)系嗎?,你能由此推測二次函數(shù)yx2與yx21的圖象之間的關(guān)系嗎?

,那么yx2與yx22的圖象之間又有何關(guān)系?

.[實踐與探索]

例1.在同一直角坐標系中,畫出函數(shù)y2x2與y2x22的圖象.解列表.x-31820-2810-124002124281031820

y2x2y2x22描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,如圖26.2.3所示.

回顧與反思當自變量x取同一數(shù)值時,這兩個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系?反映在圖象上,相應(yīng)的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系?探索觀察這兩個函數(shù),它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此說出函數(shù)y2x2與y2x22的圖象之間的關(guān)系嗎?

例2.在同一直角坐標系中,畫出函數(shù)yx21與yx21的圖象,并說明,通過怎樣的平移,可以由拋物線yx21得到拋物線yx21.解列表.x-3-8-2-3-5-10-201-110-22-3-53-8

yx21yx21-10-10描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,如圖26.2.4所示.

可以看出,拋物線yx21是由拋物線yx21向下平移兩個單位得到的.回顧與反思拋物線yx21和拋物線yx21分別是由拋物線yx2向上、向下平移一個單位得到的.

探索如果要得到拋物線yx24,應(yīng)將拋物線yx21作怎樣的平移?

12x相同,頂點縱坐標是-2,且拋2物線經(jīng)過點(1,1),求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解由題意可得,所求函數(shù)開口向上,對稱軸是y軸,頂點坐標為(0,-2),

例3.一條拋物線的開口方向、對稱軸與y因此所求函數(shù)關(guān)系式可看作yax22(a0),又拋物線經(jīng)過點(1,1),所以,1a122,解得a3.故所求函數(shù)關(guān)系式為y3x22.

回顧與反思yax2k(a、k是常數(shù),a≠0)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標歸納如下:開口方向a0a0對稱軸頂點坐標yax2k[當堂課內(nèi)練習]1.在同一直角坐標系中,畫出下列二次函數(shù)的圖象:

111yx2,yx22,yx22.

222觀察三條拋物線的相互關(guān)系,并分別指出它們的開口方向及對稱軸、頂點的位

1置.你能說出拋物線yx2k的開口方向及對稱軸、頂點的位置嗎?

212.拋物線yx29的開口,對稱軸是,頂點坐標

41是,它可以看作是由拋物線yx2向平移個單位得到的.

43.函數(shù)y3x23,當x時,函數(shù)值y隨x的增大而減小.當x時,函數(shù)取得最值,最值y=.[本課課外作業(yè)]

A組

1111.已知函數(shù)yx2,yx23,yx22.

333(1)分別畫出它們的圖象;

(2)說出各個圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標;

12x5的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標.312.不畫圖象,說出函數(shù)yx23的開口方向、對稱軸和頂點坐標,并說明

41它是由函數(shù)yx2通過怎樣的平移得到的.

4(3)試說出函數(shù)y3.若二次函數(shù)yax22的圖象經(jīng)過點(-2,10),求a的值.這個函數(shù)有最大還是最小值?是多少?

B組

4.在同一直角坐標系中yax2b與yaxb(a0,b0)的圖象的大致位置是()

5.已知二次函數(shù)y8x2(k1)xk7,當k為何值時,此二次函數(shù)以y軸為對稱軸?寫出其函數(shù)關(guān)系式.[本課學習體會]

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3)

[本課知識要點]

會畫出ya(xh)2這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質(zhì).[MM及創(chuàng)新思維]

我們已經(jīng)了解到,函數(shù)yax2k的圖象,可以由函數(shù)yax2的圖象上下

11(x2)2的圖象,是否也可以由函數(shù)yx2平移而得22呢?畫圖試一試,你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?[實踐與探索]

例1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象.

111yx2,y(x2)2,y(x2)2,并指出它們的開口方向、對稱軸和

222平移所得,那么函數(shù)y

頂點坐標.解列表.x1yx22-3-2-102121211222392

1125192202y(x2)22822描點、連線,畫出這三個函數(shù)的圖象,如圖26.2.5所示.

它們的開口方向都向上;對稱軸分別是y軸、直線x=-2和直線x=2;頂點坐標分別是

(0,0),(-2,0),(2,0).

1回顧與反思對于拋物線y(x2)2,當x時,函數(shù)值y隨x的增大

2而減小;當x時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;當x時,函數(shù)取得最值,最值y=.

11探索拋物線y(x2)2和拋物線y1(x2)2分別是由拋物線yx2向

2221左、向右平移兩個單位得到的.如果要得到拋物線y(x4)2,應(yīng)將拋物線

21yx2作怎樣的平移?

212

92112y(x2)2201*25282例2.不畫出圖象,你能說明拋物線y3x2與y3(x2)2之間的關(guān)系嗎?解拋物線y3x2的頂點坐標為(0,0);拋物線y3(x2)2的頂點坐標為(-2,0).

因此,拋物線y3x2與y3(x2)2形狀相同,開口方向都向下,對稱軸分別是y軸和直線x2.拋物線y3(x2)2是由y3x2向左平移2個單位而得的.

回顧與反思ya(xh)2(a、h是常數(shù),a≠0)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標歸納如下:開口方向a0a0對稱軸頂點坐標ya(xh)

[當堂課內(nèi)練習]

21.畫圖填空:拋物線y(x1)2的開口,對稱軸是,頂點坐標是,它可以看作是由拋物線yx2向平移個單位得到的.2.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象.

y2x2,y2(x3)2,y2(x3)2,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標.[本課課外作業(yè)]

A組

1111.已知函數(shù)yx2,y(x1)2,y(x1)2.

222(1)在同一直角坐標系中畫出它們的圖象;

(2)分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標;(3)分別討論各個函數(shù)的性質(zhì).

12.根據(jù)上題的結(jié)果,試說明:分別通過怎樣的平移,可以由拋物線yx2得

211到拋物線y(x1)2和y(x1)2?

223.函數(shù)y3(x1)2,當x時,函數(shù)值y隨x的增大而減。攛

時,函數(shù)取得最值,最值y=.

4.不畫出圖象,請你說明拋物線y5x2與y5(x4)2之間的關(guān)系.

B組

5.將拋物線yax2向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標為-2,且新拋物線經(jīng)過點

(1,3),求a的值.[本課學習體會]

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(4)

[本課知識要點]

1.掌握把拋物線yax2平移至ya(xh)2+k的規(guī)律;

2.會畫出ya(xh)2+k這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質(zhì).[MM及創(chuàng)新思維]

由前面的知識,我們知道,函數(shù)y2x2的圖象,向上平移2個單位,可以得到函數(shù)y2x22的圖象;函數(shù)y2x2的圖象,向右平移3個單位,可以得到函數(shù)y2(x3)2的圖象,那么函數(shù)y2x2的圖象,如何平移,才能得到函數(shù)y2(x3)22的圖象呢?

[實踐與探索]

例1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象.

111yx2,y(x1)2,y(x1)22,并指出它們的開口方向、對稱軸和

222頂點坐標.解列表.

-3-2-10123xyyy12x2922921201*321221232921(x1)2286200-2201(x1)22252

描點、連線,畫出這三個函數(shù)的圖象,如圖26.2.6所示.

它們的開口方向都向,對稱軸分別為、、,頂點坐標分別為、、.請同學們完成填空,并觀察三個圖象之間的關(guān)系.

回顧與反思二次函數(shù)的圖象的上下平移,只影響二次函數(shù)ya(xh)2+k中k的值;左右平移,只影響h的值,拋物線的形狀不變,所以平移時,可根據(jù)頂點坐標的改變,確定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑.此外,圖象的平移與平移的順序無關(guān).

探索你能說出函數(shù)ya(xh)2+k(a、h、k是常數(shù),a≠0)的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?試填寫下表.開口方向ya(xh)2+ka0a0對稱軸頂點坐標例2.把拋物線yx2bxc向上平移2個單位,再向左平移4個單位,得到拋物線yx2,求b、c的值.

分析拋物線yx2的頂點為(0,0),只要求出拋物線yx2bxc的頂點,根據(jù)頂點坐標的改變,確定平移后的函數(shù)關(guān)系式,從而求出b、c的值.

b2b2b2b2c(x)c.解yxbxcxbx442422

b2b22,向上平移2個單位,得到y(tǒng)(x)c24bb222,再向左平移4個單位,得到y(tǒng)(x4)c24bb22),而拋物線yx2的頂點為(0,0),則其頂點坐標是(4,c24b4022cb204b8解得

c14探索把拋物線yx2bxc向上平移2個單位,再向左平移4個單位,得到拋物線yx2,也就意味著把拋物線yx2向下平移2個單位,再向右平移4個單位,得到拋物線yx2bxc.那么,本題還可以用更簡潔的方法來解,請你試一試.

[當堂課內(nèi)練習]

1.將拋物線y2(x4)21如何平移可得到拋物線y2x2()

A.向左平移4個單位,再向上平移1個單位B.向左平移4個單位,再向下平移1個單位C.向右平移4個單位,再向上平移1個單位D.向右平移4個單位,再向下平移1個單位

32.把拋物線yx2向左平移3個單位,再向下平移4個單位,所得的拋物

2線的函數(shù)關(guān)系式為.

113.拋物線y12xx2可由拋物線yx2向平移個單位,再

22向平移個單位而得到.[本課課外作業(yè)]

地說出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標,并畫出圖象嗎?[實踐與探索]

例1.通過配方,確定拋物線y2x24x6的開口方向、對稱軸和頂點坐標,再描點畫圖.解y2x24x6

2(x22x)62(x22x11)62(x1)162

2(x1)28因此,拋物線開口向下,對稱軸是直線x=1,頂點坐標為(1,8).由對稱性列表:

x-2-101234y2x24x6-1006860-10描點、連線,如圖26.2.7所示.

回顧與反思(1)列表時選值,應(yīng)以對稱軸x=1為中心,函數(shù)值可由對稱性得到,.

(2)描點畫圖時,要根據(jù)已知拋物線的特點,一般先找出頂點,并用虛線畫對稱軸,然后再對稱描點,最后用平滑曲線順次連結(jié)各點.

探索對于二次函數(shù)yax2bxc,你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標嗎?請你完成填空:對稱軸,頂點坐標.例2.已知拋物線yx2(a2)x9的頂點在坐標軸上,求a的值.分析頂點在坐標軸上有兩種可能:(1)頂點在x軸上,則頂點的縱坐標等于0;(2)頂點在y軸上,則頂點的橫坐標等于0.

a22(a2)2)9解yx(a2)x9(x,242a2(a2)2則拋物線的頂點坐標是,9.

42a20,2解得a2.

當頂點在x軸上時,有(a2)20,當頂點在y軸上時,有94解得a4或a8.

所以,當拋物線yx2(a2)x9的頂點在坐標軸上時,a有三個值,分別是2,4,8.[當堂課內(nèi)練習]

1.(1)二次函數(shù)yx22x的對稱軸是.

(2)二次函數(shù)y2x22x1的圖象的頂點是,當x時,y隨x的增大而減。

(3)拋物線yax24x6的頂點橫坐標是-2,則a=.

12.拋物線yax22xc的頂點是(,1),則a、c的值是多少?

3[本課課外作業(yè)]

A組

151.已知拋物線yx23x,求出它的對稱軸和頂點坐標,并畫出函數(shù)的

22圖象.

2.利用配方法,把下列函數(shù)寫成ya(xh)2+k的形式,并寫出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.(1)yx26x1

(2)y2x23x4

(3)yx2nx(4)yx2pxq

3.已知y(k2)xk22k6是二次函數(shù),且當x0時,y隨x的增大而增大.

(1)求k的值;(2)求開口方向、頂點坐標和對稱軸.

B組4.當a0時,求拋物線yx22ax12a2的頂點所在的象限.

5.已知拋物線yx24xh的頂點A在直線y4x1上,求拋物線的頂點坐標.

[本課學習體會]

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6)

[本課知識要點]

1.會通過配方求出二次函數(shù)yax2bxc(a0)的最大或最小值;

2.在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學模型的作用,會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題中的最大或最小值.[MM及創(chuàng)新思維]

在實際生活中,我們常常會碰到一些帶有“最”字的問題,如問題:某商店將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售,一天可銷出約100件.該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤.經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元,其銷售量可增加約10件.將這種商品的售價降低多少時,能使銷售利潤最大?

在這個問題中,設(shè)每件商品降價x元,該商品每天的利潤為y元,則可得函數(shù)關(guān)系式為二次函數(shù)y10x2100x201*.那么,此問題可歸結(jié)為:自變量x為何值時函數(shù)y取得最大值?你能解決嗎?[實踐與探索]

例1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)y2x23x5;(2)yx23x4.

分析由于函數(shù)y2x23x5和yx23x4的自變量x的取值范圍是全體實數(shù),所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點,就可以確定函數(shù)有最大值或最小值.

解(1)二次函數(shù)y2x23x5中的二次項系數(shù)2>0,因此拋物線y2x23x5有最低點,即函數(shù)有最小值.

349因為y2x23x5=2(x)2,

48349所以當x時,函數(shù)y2x23x5有最小值是.

48(2)二次函數(shù)yx23x4中的二次項系數(shù)-1<0,因此拋物線yx23x4有最高點,即函數(shù)有最大值.

325因為yx23x4=(x)2,

24325所以當x時,函數(shù)yx23x4有最大值是.

24回顧與反思最大值或最小值的求法,第一步確定a的符號,a>0有最小值,a<0有最大值;第二步配方求頂點,頂點的縱坐標即為對應(yīng)的最大值或最小值.

探索試一試,當2.5≤x≤3.5時,求二次函數(shù)yx22x3的最大值或最小值.

例2.某產(chǎn)品每件成本是120元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間關(guān)系如下表:x(元)130150165y(件)705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù),要獲得最大銷售利潤,每件產(chǎn)品的銷售價定為多少元?此時每日銷售利潤是多少?

分析日銷售利潤=日銷售量×每件產(chǎn)品的利潤,因此主要是正確表示出這兩個量.

解由表可知x+y=200,

因此,所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為yx200.設(shè)每日銷售利潤為s元,則有

sy(x120)(x160)21600.

因為x201*,x1200,所以120x200.

所以,當每件產(chǎn)品的銷售價定為160元時,銷售利潤最大,最大銷售利潤為1600元.

回顧與反思解決實際問題時,應(yīng)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式,再研究所得的函數(shù),得出結(jié)果.

例3.如圖26.2.8,在RtABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,點D在斜邊AB上,分別作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,

設(shè)DE=x,DF=y.

(1)用含y的代數(shù)式表示AE;

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍;(3)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出S的最大值.

解(1)由題意可知,四邊形DECF為矩形,因此

AEACDF8y.

(2)由DE∥BC,得

DEAEx8y,即,BCAC48所以,y82x,x的取值范圍是0x4.(3)Sxyx(82x)2x28x2(x2)28,所以,當x=2時,S有最大值8.

[當堂課內(nèi)練習]

1.對于二次函數(shù)yx22xm,當x=時,y有最小值.

2.已知二次函數(shù)ya(x1)2b有最小值1,則a與b之間的大小關(guān)系是()

A.a(chǎn)<bB.a(chǎn)=bC.a(chǎn)>bD.不能確定

3.某商場銷售一批襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件.(1)若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?(2)每件襯衫降價多少元時,商場平均每天盈利最多?[本課課外作業(yè)]

A組

1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)yx22x;(2)y2x22x1.2.已知二次函數(shù)yx26xm的最小值為1,求m的值.,

3.心理學家發(fā)現(xiàn),學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位:分)之間滿足函數(shù)關(guān)系:y0.1x22.6x43(0x30).y值越大,表示接受能力越強.

(1)x在什么范圍內(nèi),學生的接受能力逐步增強?x在什么范圍內(nèi),學生的接

受能力逐步降低?

(2)第10分時,學生的接受能力是多少?(3)第幾分時,學生的接受能力最強?

B組

4.不論自變量x取什么數(shù),二次函數(shù)y2x26xm的函數(shù)值總是正值,求m的取值范圍.

5.如圖,有長為24m的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm2.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果要圍成面積為45m2的花圃,AB的長是多少米?

(3)能圍成面積比45m2更大的花圃嗎?如果能,請求出最大面積,并說明圍法;如果不能,請說明理由.6.如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,線段EF在對角線AC上,EG⊥AD,F(xiàn)H⊥BC,垂足分別是G、H,且EG+FH=EF.

(1)求線段EF的長;

(2)設(shè)EG=x,AGE與CFH的面積和為S,寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍,并求出S的最小值.[本課學習體會]

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(7)

[本課知識要點]

會根據(jù)不同的條件,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.[MM及創(chuàng)新思維]

一般地,函數(shù)關(guān)系式中有幾個獨立的系數(shù),那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才能求出函數(shù)關(guān)系式.例如:我們在確定一次函數(shù)ykxb(k0)的關(guān)系式時,通常需要兩個獨立的條件:確定反比例函數(shù)yk(k0)的關(guān)系式時,x通常只需要一個條件:如果要確定二次函數(shù)yax2bxc(a0)的關(guān)系式,又需要幾個條件呢?[實踐與探索]

例1.某涵洞是拋物線形,它的截面如圖26.2.9所示,現(xiàn)測得水面寬1.6m,涵洞頂點O到水面的距離為2.4m,

在圖中直角坐標系內(nèi),涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么?

分析如圖,以AB的垂直平分線為y軸,以過點O的y軸的垂線為x軸,建立了直角坐標系.這時,涵洞所在的拋物線的頂點在原點,對稱軸是y軸,開口向下,所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是yax2(a0).此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解由題意,得點B的坐標為(0.8,-2.4),

又因為點B在拋物線上,將它的坐標代入yax2(a0),得

2.4a0.82

15.4所以a因此,函數(shù)關(guān)系式是y152x.4例2.根據(jù)下列條件,分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2);(2)已知拋物線的頂點為(1,-3),且與y軸交于點(0,1);

(3)已知拋物線與x軸交于點M(-3,0)、(5,0),且與y軸交于點(0,-3);

(4)已知拋物線的頂點為(3,-2),且與x軸兩交點間的距離為4.

分析(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點,可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

yax2bxc的形式;(2)根據(jù)已知拋物線的頂點坐標,可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

ya(x1)23,再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值;(3)根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的坐標,可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為ya(x3)(x5),再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值;(4)根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(3,-2),可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為ya(x3)22,同時可知拋物線的對稱軸為x=3,再由與x軸兩交點間的距離為4,可得拋物線與x軸的兩個交點為(1,0)和(5,0),任選一個代入ya(x3)22,即可求出a的值.

解(1)設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為yax2bxc,由已知,這個函數(shù)的圖象過(0,-1),可以得到c=-1.又由于其圖象過點(1,0)、(-1,2)兩點,可以得到

ab1ab3解這個方程組,得

a=2,b=-1.

所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y2x22x1.

(2)因為拋物線的頂點為(1,-3),所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為ya(x1)23,又由于拋物線與y軸交于點(0,1),可以得到

1a(01)23

解得a4.

所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y4(x1)234x28x1.(3)因為拋物線與x軸交于點M(-3,0)、(5,0),所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為ya(x3)(x5).又由于拋物線與y軸交于點(0,3),可以得到3a(03)(05).

1.5112所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y(x3)(x5)x2x3.

555(4)根據(jù)前面的分析,本題已轉(zhuǎn)化為與(2)相同的題型,請同學們自己完成.回顧與反思確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法,在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時,可根據(jù)題目中的條件靈活選擇,以簡單為原則.二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式:

解得a(1)一般式:yax2bxc(a0),給出三點坐標可利用此式來求.(2)頂點式:ya(xh)2k(a0),給出兩點,且其中一點為頂點時可利用此式來求.

(3)交點式:ya(xx1)(xx2)(a0),給出三點,其中兩點為與x軸的兩個交點(x1,0)、(x2,0)時可利用此式來求.[當堂課內(nèi)練習]

1.根據(jù)下列條件,分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,2)、(1,1)、(3,5);(2)已知拋物線的頂點為(-1,2),且過點(2,1);

(3","p":{"h":18,"w":9,"x":102.996,"y":158.088,"z":34會結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析問題、解決問題,在運用中體會二次函數(shù)的實際意義.

[MM及創(chuàng)新思維]

生活中,我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題,比如在201*雅典奧運會的賽場上,很多項目,如跳水、鉛球、籃球、足球、排球等都與二次函數(shù)及其圖象息息相關(guān).你知道二次函數(shù)在生活中的其它方面的運用嗎?[實踐與探索]

例1.如圖26.3.1,一位運動員推鉛球,鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系是

125yx2x,問此運動員把鉛球

1233推出多遠?

解如圖,鉛球落在x軸上,則y=0,

125因此,x2x0.

1233解方程,得x110,x22(不合題意,舍去).

所以,此運動員把鉛球推出了10米.

探索此題根據(jù)已知條件求出了運動員把鉛球推出的實際距離,如果創(chuàng)設(shè)另外

5一個問題情境:一個運動員推鉛球,鉛球剛出手時離地面m,鉛球落地點距

3鉛球剛出手時相應(yīng)的地面上的點10m,鉛球運行中最高點離地面3m,已知鉛球走過的路線是拋物線,求它的函數(shù)關(guān)系式.你能解決嗎?試一試.

例2.如圖26.3.2,公園要建造圓形的噴水池,在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下,為使水流形狀較為漂亮,要求設(shè)計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.(1)若不計其他因素,那么水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水流不致落到池外?

(2)若水流噴出的拋物線形狀與(1)相同,水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外,此時水流最大高度應(yīng)達多少米?(精確到0.1m)

分析這是一個運用拋物線的有關(guān)知識解決實際問題的應(yīng)用題,首先必須將水流拋物線放在直角坐標系中,如圖26.3.3,我們可以求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式,再利用拋物線的性質(zhì)即可解決問題.

解(1)以O(shè)為原點,OA為y軸建立坐標系.設(shè)拋物線頂點為B,水流落水與x軸交點為C(如圖26.3.3).

由題意得,A(0,1.25),B(1,2.25),因此,設(shè)拋物線為ya(x1)22.25.

將A(0,1.25)代入上式,得1.25a(01)22.25,解得a1

所以,拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y(x1)22.25.當y=0時,解得x=-0.5(不合題意,舍去),x=2.5,所以C(2.5,0),即水池的半徑至少要2.5m.

(2)由于噴出的拋物線形狀與(1)相同,可設(shè)此拋物線為y(xh)2k.由拋物線過點(0,1.25)和(3.5,0),可求得h=-1.6,k=3.7.所以,水流最大高度應(yīng)達3.7m.[當堂課內(nèi)練習]

1.在排球賽中,一隊員站在邊線發(fā)球,發(fā)球方向與邊線垂直,球開始飛行時距地面1.9米,當球飛行距離為9米時達最大高度5.5米,已知球場長18米,問這樣發(fā)球是否會直接把球打出邊線?

2.在一場籃球賽中,隊員甲跳起投籃,當球出手時離地高2.5米,與球圈中心的水平距離為7米,當球出手水平距離為4米時到達最大高度4米.設(shè)籃球運行軌跡為拋物線,球圈距地面3米,問此球是否投中?[本課課外作業(yè)]

A組

1.在一場足球賽中,一球員從球門正前方10米處將球踢起射向球門,當球飛行的水平距離是6米時,球到達最高點,此時球高3米,已知球門高2.44米,問能否射中球門?2.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到贏利的過程.下面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).

根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:(1)由已知圖象上的三點坐標,求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元;(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?

3.如圖,一位運動員在距籃下4m處跳起投籃,球運行的路線是拋物線,當球運行的水平距離為2.5m時,

達到最大高度3.5m,然后準確落入籃圈,已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.(1)建立如圖所示的直角坐標系,求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;(2)該運動員身高1.8m,在這次跳投中,球在頭頂上方0.25m處出手,問:球出手時,他跳離地面的高度是多少?

B組

4.某公司草坪的護欄是由50段形狀相同的拋物線組成的,為牢固起見,每段護欄需按間距0.4m加設(shè)不銹鋼管(如圖a)做成的立柱,為了計算所需不銹鋼管立柱的總長度,設(shè)計人員利用圖b所示的坐標系進行計算.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)計算所需不銹鋼管立柱的總長度.

5.某跳水運動員在進行10m跳臺跳水訓練時,身體(看成一點)在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線.在跳某個規(guī)定動作時,正常情況下,該運動員在空中的最高處

2距水面10m,入水處距池邊的距離為4m,同時

3運動員在距水面高度5m以前,必須完成規(guī)定的翻騰動作,并調(diào)整好入水姿勢時,否則就會出現(xiàn)失誤.

(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;(2)在某次試跳中,測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線,且運動員在空中調(diào)整好入

3水姿勢時,距池邊的水平距離為3m,問此次跳水會不會失誤?并通過計算說

5明理由.

[本課學習體會]

26.3實踐與探索(2)

[本課知識要點]

讓學生進一步體驗把實際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)二次函數(shù)知識的過程.[MM及創(chuàng)新思維]

二次函數(shù)的有關(guān)知識在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用更為廣闊,我們來看這樣一個生活中常見的問題:某廣告公司設(shè)計一幅周長為12米的矩形廣告牌,廣告設(shè)計費

為每平方米1000元,設(shè)矩形一邊長為x米,面積為S平方米.請你設(shè)計一個方案,使獲得的設(shè)計費最多,并求出這個費用.你能解決它嗎?類似的問題,我們都可以通過建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決.[實踐與探索]

例1.某化工材料經(jīng)銷公司購進了一種化工原料共7000千克,購進價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元,也不得低于30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):單價定為70元時,日均銷售60千克;單價每降低1元,日均多售出2千克。在銷售過程中,每天還要支出其他費用500元(天數(shù)不足一天時,按整天計算)。設(shè)銷售單價為x元,日均獲利為y元。(1)求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式,并注明x的取值范圍;

b24acb2(2)將(1)中所求出的二次函數(shù)配方成ya(x)的形式,寫

2a4a出頂點坐標;在直角坐標系畫出草圖;觀察圖象,指出單價定為多少元時日均

獲利最多,是多少?

分析若銷售單價為x元,則每千克降低(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均銷售量為[60+2(70-x)]千克,每千克獲利為(x-30)元,從而可列出函數(shù)關(guān)系式。

解(1)根據(jù)題意,得

y(x30)[602(70x)]500

2x2260x6500(30≤x≤70)。(2)y2x2260x65002(x65)21950。

頂點坐標為(65,1950)。二次函數(shù)草圖略。

經(jīng)觀察可知,當單價定為65元時,日均獲利最多,是1950元。

例2。某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,它的成本是2元,售價是3元,年銷售量為100萬件.為了獲得更好的效益,公司準備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費是x(十萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍,且y是x的二次函數(shù),它們的關(guān)系如下表:X(十萬元)012y11.51.8(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費,試寫出年利潤S(十萬元)與廣告費x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式;

(3)如果投入的年廣告費為10~30萬元,問廣告費在什么范圍內(nèi),公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大?

解(1)設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為yax2bxc。

c1由表中數(shù)據(jù),得abc1.5。

4a2bc1.81a103解得b。

5c1所以所求二次函數(shù)關(guān)系式為y123xx1。105(2)根據(jù)題意,得S10y(32)xx25x10。

565(3)Sx25x10(x)2。

24由于1≤x≤3,所以當1≤x≤2。5時,S隨x的增大而增大。.[當堂課內(nèi)練習]

1.將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時,每天能賣出20個,若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元,其日銷售量就增加1個,為了獲得最大利潤,則應(yīng)降價()

A、5元B、10元C、15元D、20元2.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品成本是3元,售價是4元,年銷售量為10萬件,為了獲得更好的效益,公司準備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費是x(萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍,且

x277yx,如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費,試寫出

101010年利潤S(萬元)與廣告費x(萬元)的函數(shù)關(guān)系式,并計算廣告費是多少萬元時,公司獲得的年利潤最大,最大年利潤是是多少萬元?[本課課外作業(yè)]

A組

1.某商場以每件42元的價錢購進一種服裝,根據(jù)試銷得知:這種服裝每天的銷售量t(件),

與每件的銷售價x(元/件)可看成是一次函數(shù)關(guān)系:t=-3x+204。

(1)寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤y與每件的銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式(每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價與購進價的差);

(2)通過對所得函數(shù)關(guān)系式進行配方,指出:商場要想每天獲得最大的銷售利潤,每件的銷售價定為多少最為合適;最大銷售利潤為多少?

2.某旅社有客房120間,當每間房的日租金為50元時,每天都客滿,旅社裝修后,要提高租金,經(jīng)市場調(diào)查,如果一間客房日租金增加5元,則客房每天出租數(shù)會減少6間,不考慮其他因素,旅社將每間客房日租金提高到多少元時,客房的總收入最大?比裝修前客房日租金總收入增加多少元?

3.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品.據(jù)市場分析,若按每千克50元銷售,一個月能售出500kg;銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10kg.針對這種水產(chǎn)品的銷售情況,請解答以下問題:

(1)當銷售單價定為每千克55元時,計算月銷售量和月銷售利潤;

(2)設(shè)銷售單價為每千克x元,月銷售利潤為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達到8000元,銷售單價應(yīng)定為多少?

B組

4.行駛中的汽車在剎車后由于慣性的作用,還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止,這段距離稱為“剎車距離”,為了測定某種型號汽車的剎車性能車速不超過140千米/時,對這種汽車進行測試,數(shù)據(jù)如下表:

剎車時車速(千米/時)0102030405060剎車距離00.31.02.13.65.57.81以車速為x軸,以剎車距離為y軸,在坐標系中描出這些數(shù)據(jù)所表示的點,并用平滑的曲線連結(jié)這些點,得到函數(shù)的大致圖象;

2觀察圖象,估計函數(shù)的類型,并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系式;3該型號汽車在國道上發(fā)生一次交通事故,現(xiàn)場測得剎車距離為46.5米,請推測剎車時的車速是多少?請問在事故發(fā)生時,汽車是超速行駛還是正常行駛?

[本課學習體會]

26.3實踐與探索(3)

[本課知識要點]

(1)會求出二次函數(shù)yax2bxc與坐標軸的交點坐標;

(2)了解二次函數(shù)yax2bxc與一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系.

[MM及創(chuàng)新思維]

給出三個二次函數(shù):(1)yx23x2;(2)yx2x1;(3)

yx22x1.

它們的圖象分別為

觀察圖象與x軸的交點個數(shù),分別是個、個、個.你知道圖象與x軸的交點個數(shù)與什么有關(guān)嗎?

另外,能否利用二次函數(shù)yax2bxc的圖象尋找方程不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的ax2bxc0(a0),解?

[實踐與探索]

例1.畫出函數(shù)yx22x3的圖象,根據(jù)圖象回答下列問題.(1)圖象與x軸、y軸的交點坐標分別是什么?

(2)當x取何值時,y=0?這里x的取值與方程x22x30有什么關(guān)系?(3)x取什么值時,函數(shù)值y大于0?x取什么值時,函數(shù)值y小于0?

解圖象如圖26.3.4,

(1)圖象與x軸的交點坐標為(-1,0)、(3,0),與y軸的交點坐標為(0,-3).

(2)當x=-1或x=3時,y=0,x的取值與方程x22x30的解相同.

(3)當x<-1或x>3時,y>0;當-1<x<3時,y<0.

回顧與反思(1)二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題常通過一元二次方程的根的問題來解決;反過來,一元二次方程的根的問題,又常用二次函數(shù)的圖象來解決.

(2)利用函數(shù)的圖象能更好地求不等式的解集,先觀察圖象,找出拋物線與x軸的交點,再根據(jù)交點的坐標寫出不等式的解集.

例2.(1)已知拋物線y2(k1)x24kx2k3,當k=時,拋物線與x軸相交于兩點.

(2)已知二次函數(shù)y(a1)x22ax3a2的圖象的最低點在x軸上,則a=.

(3)已知拋物線yx2(k1)x3k2與x軸交于兩點A(α,0),B(β,0),且2217,則k的值是.

分析(1)拋物線y2(k1)x24kx2k3與x軸相交于兩點,相當于方程

2(k1)x24kx2k30有兩個不相等的實數(shù)根,即根的判別式>0.(2)二次函數(shù)y(a1)x22ax3a2的圖象的最低點在x軸上,也就是說,方程(a1)x22ax3a20的兩個實數(shù)根相等,即=0.

(3)已知拋物線yx2(k1)x3k2與x軸交于兩點A(α,0),B(β,0),即α、β是方程x2(k1)x3k20的兩個根,又由于2217,以及22()22,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)果.請同學們完成填空.

回顧與反思二次函數(shù)的圖象與x軸有無交點的問題,可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無實數(shù)根的問題,這可從計算根的判別式入手.例3.已知二次函數(shù)yx2(m2)xm1,

(1)試說明:不論m取任何實數(shù),這個二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個交點;(2)m為何值時,這兩個交點都在原點的左側(cè)?

(3)m為何值時,這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸?

分析(1)要說明不論m取任何實數(shù),二次函數(shù)yx2(m2)xm1的

圖象必與x軸有兩個交點,只要說明方程x2(m2)xm10有兩個不相等的實數(shù)根,即>0.

(2)兩個交點都在原點的左側(cè),也就是方程x2(m2)xm10有兩個負實數(shù)根,因而必須符合條件①>0,②x1x20,③x1x20.綜合以上條件,可解得所求m的值的范圍.

(3)二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸,說明方程x2(m2)xm10有一正一負兩個實數(shù)根,且兩根互為相反數(shù),因而必須符合條件①>0,②

x1x20.

解(1)=(m2)24(1)(m1)m28,由m20,得m280,所以>0,即不論m取任何實數(shù),這個二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個交點.(2)由x1x2m20,得m2;由x1x2m10,得m1;又由(1),>0,因此,當m1時,兩個交點都在原點的左側(cè).

(3)由x1x2m20,得m=2,因此,當m=2時,二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸.

探索第(3)題中二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸,即二次函數(shù)

yx2(m2)xm1是由函數(shù)yx2上下平移所得,那么,對一次項系數(shù)有何要求呢?請你根據(jù)它入手解本題.[當堂課內(nèi)練習]

1.已知二次函數(shù)yx23x4的圖象如圖,則方程x23x40的解是,不等式x23x40的解集是,不等式x23x40的解集是.

2.拋物線y3x22x5與y軸的交點坐標為,與x軸的交點坐標為.

3.已知方程2x23x50的兩根是軸的兩個交點間的距離為.

5,-1,則二次函數(shù)y2x23x5與x24.函數(shù)yax2ax3x1的圖象與x軸有且只有一個交點,求a的值及交點坐標.

[本課課外作業(yè)]

A組

1.已知二次函數(shù)yx2x6,畫出此拋物線的圖象,根據(jù)圖象回答下列問題.(1)方程x2x60的解是什么?

(2)x取什么值時,函數(shù)值大于0?x取什么值時,函數(shù)值小于0?2.如果二次函數(shù)yx26xc的頂點在x軸上,求c的值.

3.不論自變量x取什么數(shù),二次函數(shù)y2x26xm的函數(shù)值總是正值,求m的取值范圍.

4.已知二次函數(shù)y2x24x6,

求:(1)此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標,并畫出草圖;(2)以此函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點為頂點的三角形面積;(3)x為何值時,y>0.

5.你能否畫出適當?shù)暮瘮?shù)圖象,求方程x2x2的解?

B組

6.函數(shù)ymx2x2m(m是常數(shù))的圖象與x軸的交點有()

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個7.已知二次函數(shù)yx2axa2.

(1)說明拋物線yx2axa2與x軸有兩個不同交點;(2)求這兩個交點間的距離(關(guān)于a的表達式);(3)a取何值時,兩點間的距離最?[本課學習體會]

26.3實踐與探索(4)

[本課知識要點]

掌握一元二次方程及二元二次方程組的圖象解法.[MM及創(chuàng)新思維]

上節(jié)課的作業(yè)第5題:畫圖求方程x2x2的解,你是如何解決的呢?我們來看一看兩位同學不同的方法.

甲:將方程x2x2化為x2x20,畫出yx2x2的圖象,觀察它與x軸的交點,得出方程的解.

乙:分別畫出函數(shù)yx2和yx2的圖象,觀察它們的交點,把交點的橫坐標作為方程的解.

你對這兩種解法有什么看法?請與你的同學交流.[實踐與探索]

例1.利用函數(shù)的圖象,求下列方程的解:(1)x22x30;(2)2x25x20.

分析上面甲乙兩位同學的解法都是可行的,但乙的方法要來得簡便,因為畫拋物線遠比畫直線困難,所以只要事先畫好一條拋物線yx2的圖象,再根據(jù)待解的方程,畫出相應(yīng)的直線,交點的橫坐標即為方程的解.

解(1)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)yx2和y2x3的圖象,如圖26.3.5,

得到它們的交點(-3,9)、(1,1),則方程x22x30的解為3,1.

(2)先把方程2x25x20化為

x2

5x10,然后在同一直角2坐標系中畫出函數(shù)yx2和y5x12的圖象,如圖26.3.6,

11得到它們的交點(,)、(2,4),

241則方程2x25x20的解為,2.

2回顧與反思一般地,求一元二次方程ax2bxc0(a0)的近似解時,可先將方程ax2bxc0化為x2ybcx0,然后分別畫出函數(shù)yx2和aabcx的圖象,得出交點,交點的橫坐標即為方程的解.a(chǎn)a例2.利用函數(shù)的圖象,求下列方程組的解:

13yxy3x6(1);(2).222yx2xyx213分析(1)可以通過直接畫出函數(shù)yx和yx2的圖象,得到它們的

22交點,從而得到方程組的解;(2)也可以同樣解決.

解(1)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)yx2和

13yx的圖象,如圖26.3.7,

2239得到它們的交點(,)、(1,1),

42313x1yx2x21,則方程組的解為.22y9y21yx214

(2)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)yx22x和

y3x6的圖象,如圖26.3.8,

y3x6得到它們的交點(-2,0)、(3,15),則方程組的解為2yx2xx12x23.,y10y215

探索(2)中的拋物線畫出來比較麻煩,你能想出更好的解決此題的方法嗎?比如利用拋物線yx2的圖象,請嘗試一下.[當堂課內(nèi)練習]

1.利用函數(shù)的圖象,求下列方程的解:(1)x2x10(精確到0.1);(2)3x25x20.

yx22.利用函數(shù)的圖象,求方程組的解:2yx[本課課外作業(yè)]

A組

1.利用函數(shù)的圖象,求下列方程的解:

321(1)x2x10(2)x2x0

2332.利用函數(shù)的圖象,求下列方程組的解:

yxyx6(1);(2).22y(x1)5yx2xB組

3.如圖所示,二次函數(shù)y1ax2bxc(a0)與

y2kxb(k0)的圖象交于A(-2,4)、B(8,2).求能使y1y2成立的x的取值范圍。

[本課學習體會]

第二十六章小結(jié)與復習

一、本章學習回顧1.知識結(jié)構(gòu)

實二二次函數(shù)的圖象

際次二次函數(shù)的應(yīng)用問函二次函數(shù)的性質(zhì)題數(shù)

2.學習要點

(1)能結(jié)合實例說出二次函數(shù)的意義。(2)能寫出實際問題中的二次函數(shù)的關(guān)系式,會畫出它的圖象,說出它的性質(zhì)。(3)掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律。

(4)會通過配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標和最值。(5)會用待定系數(shù)法靈活求出二次函數(shù)關(guān)系式。(6)熟悉二次函數(shù)與一元二次方程及方程組的關(guān)系。(7)會用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決實際生活中的問題。3.需要注意的問題

在學習二次函數(shù)時,要注重數(shù)形結(jié)合的思想方法。在二次函數(shù)圖象的平移變化中,在用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式的過程中,在利用二次函數(shù)圖象求解方程與方程組時,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。二、本章復習題

A組

一、填空題1.已知函數(shù)ymxm2m,當m=時,它是二次函數(shù);當m=時,

拋物線的開口向上;當m=時,拋物線上所有點的縱坐標為非正數(shù).2.拋物線yax2經(jīng)過點(3,-1),則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.3.拋物線y(k1)x2k29,開口向下,且經(jīng)過原點,則k=.4.點A(-2,a)是拋物線yx2上的一點,則a=;A點關(guān)于原點的對稱點B是;A點關(guān)于y軸的對稱點C是;其中點B、點C在拋物線yx2上的是.

5.若拋物線yx24xc的頂點在x軸上,則c的值是.

16.把函數(shù)yx2的圖象向左平移2個單位,再向下平移3個單位,所得新

6圖象的函數(shù)關(guān)系式為.

7.已知二次函數(shù)yx28xm的最小值為1,那么m的值等于.8.二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上截得的兩交點之間的距離為.

9.拋物線yx22x1的對稱軸是,根據(jù)圖象可知,當x時,y隨x的增大而減小.

10.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸是y軸,且經(jīng)過點(-2,-2),則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.

11.若二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點(2,0)和點(0,1),則函數(shù)關(guān)系式為.

12.拋物線yx22x3的開口方向向,頂點坐標是,對稱軸是,與x軸的交點坐標是,與y軸的交點坐標是,當x=時,y有最值是.

13.拋物線yx2xc與x軸的兩個交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),若

x1x23,那么c值為,拋物線的對稱軸為.14.已知函數(shù)y(m1)x22xm24.當m時,函數(shù)的圖象是直線;

22當m

時,函數(shù)的圖象是拋物線;當m時,函數(shù)的圖象是開口向上,且經(jīng)過原點的拋物線.

15.一條拋物線開口向下,并且與x軸的交點一個在點A(1,0)的左邊,一個在點A(1,0)的右邊,而與y軸的交點在x軸下方,寫出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.二、選擇題

16.下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的有()

1①y12x2②y2③yx(1x)④y(12x)(12x)

x

A、1個B、2個C、3個D、4個17.若二次函數(shù)y(m1)x2m22m3的圖象經(jīng)過原點,則m的值必為()

A、-1或3B、-1C、3D、無法確定18.二次函數(shù)

yx22(m1)x4m的圖象與x軸

()

A、沒有交點B、只有一個交點C、只有兩個交點D、至少有一個交點

19.二次函數(shù)yx22x2有()

A、最大值1B、最大值2C、最小值1D、最小值2

120.在同一坐標系中,作函數(shù)y3x2,y3x2,yx2的圖象,它們的共

3同特點是

(D)

A、都是關(guān)于x軸對稱,拋物線開口向上B、都是關(guān)于y軸對稱,拋物線開口向下

C、都是關(guān)于原點對稱,拋物線的頂點都是原點D、都是關(guān)于y軸對稱,拋物線的頂點都是原點

21.已知二次函數(shù)ykx27x7的圖象和x軸有交點,則k的取值范圍是

()

77A、KB、K且k0

4477C、KD、K且k0

441122.二次函數(shù)y(x1)22的圖象可由yx2的圖象

22()

A.向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到B.向左平移1個單位,再向上平移2個單位得到C.向右平移1個單位,再向下平移2個單位得到D.向右平移1個單位,再向上平移2個單位得到

23.某旅社有100張床位,每床每晚收費10元時,客床可全部租出.若每床每晚收費提高2元,則減少10張床位租出;若每床每晚收費再提高2元,則再減少10張床位租出.以每次提高2元的這種方法變化下去.為了投資少而獲利大,

每床每晚應(yīng)提高()

A、4元或6元B、4元C、6元D、8元

24.若拋物線yax2bxc的所有點都在x軸下方,則必有()

A、a0,b24ac0B、a0,b24ac0C、a0,b24ac0D、a0,b24ac0

25.拋物線y2x24x1的頂點關(guān)于原點對稱的點的坐標是()

A、(-1,3)B、(-1,-3)C、(1,3)","p":{"h":19.3一、選擇題

32.若所求的二次函數(shù)的圖象與拋物線y2x24x1有相同的頂點,并且在

對稱軸的左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小,則所求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為(D)

A、yx22x4B、yax22axa3(a0)C、y2x24x5D、yax22axa3(a0)33.二次函數(shù)yax2bxc(a0),當x=1時,函數(shù)y有最大值,設(shè)(x1,y1),

(x2,y2)是這個函數(shù)圖象上的兩點,且1x1x2,則()

A、a0,y1y2B、a0,y1y2C、a0,y1y2D、a0,y1y2

xa3134.若關(guān)于x的不等式組無解,則二次函數(shù)y(2a)x2x的

4x155a圖象與x

()

A、沒有交點B、相交于兩點

C、相交于一點D、相交于一點或沒有交點二、解答題

35.若拋物線y2xm4m3(m5)的頂點在x軸的下方,求m的值.36.把拋物線yx2mxn的圖象向左平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是yx22x2,求m、n.

137.如圖,已知拋物線yx2(5m2)xm3,與

2x軸交于A、B,且點A在x軸正半軸上,點B在x軸負半軸上,OA=OB,(1)求m的值;

(2)求拋物線關(guān)系式,并寫出對稱軸和頂點C的坐標.

44

2軸38.有一個二次函數(shù)的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點:甲:對稱軸是直線x=4;

乙:與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù);

丙:與y軸交點的縱坐標也是整數(shù),且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)的關(guān)系式.

C組

解答題

39.如圖,已知二次函數(shù)yx2mxn,當x=3時,

有最大值4.

(1)求m、n的值;

(2)設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點是A、B,求A、B點的坐標;

(3)當y<0時,求x的取值范圍;

(4)有一圓經(jīng)過A、B,且與y軸的正半軸相切于點C,求C點坐標.

40.閱讀下面的文字后,解答問題.

2

有這樣一道題目:“已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象經(jīng)過點A(0,a)、

B(1,-2)、、,求證:這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2.”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字.(1)根據(jù)現(xiàn)有信息,你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能,寫出求解過程,若不能請說明理由;

(2)請你根據(jù)已有信息,在原題中的矩形框內(nèi),填上一個適當?shù)臈l件,把原題補充完整.

41.已知開口向下的拋物線yax2bxc與x軸交于兩點A(x1,0)、B(x2,0),其中x1<x2,P為頂點,∠APB=90°,若x1、x2是方程

x22(m2)xm2210的兩個根,且x1x226.(1)求A、B兩點的坐標;(2)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

42.已知二次函數(shù)yx2(m2)x3(m1)的圖象如圖所示.

(1)當m≠-4時,說明這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點;

(2)求m的取值范圍;

45

(3)在(2)的情況下,若OAOB6,求C點坐標;(4)求A、B兩點間的距離;(5)求ABC的面積S.

第二十六章自我檢測題(時間45分鐘,滿分100分)

一、精心選一選(每題4分,共20分)1

.拋物線

yx24的頂點坐標是

()

A、(2,0)B、(-2,0)C、(1,-3)D、(0,-4)

2.若(2,5)、(4,5)是拋物線yax2bxc上的兩個點,則它的對稱軸是()

bA、xB、x1C、x2D、x3

aa3.已知反比例函數(shù)y(a0),當x<0時,y隨x的增大而減小,則函數(shù)

xyax2a的圖象經(jīng)過的象限是

()

A、第三、四象限B、第一、二象限C、第二、三、四象限D(zhuǎn)、第一、二、三象限

4.拋物線yax2bxc與x軸的兩個交點為(-1,0),(3,0),其形狀

與拋物線y2x2相同,則yax2bxc的函數(shù)關(guān)系式為()

A、y2x2x3B、y2x24x5C、y2x24x8D、y2x24x6

5.把拋物線yx2bxc向左平移2個單位,再向上平移3個單位,得到拋物()

46線

yx22x1,則A、b=2,c=-2B、b=-6,c=6C、b=-8,c=14D、b=-8,c=18

二、細心填一填(每空3分,共45分)6.若y(2m)xm22是二次函數(shù),則m=。

7.二次函數(shù)yx22x的開口,對稱軸是。

123xx的最低點坐標是,當x時,y隨22x的增大而增大。

8.拋物線y9.已知二次函數(shù)yax22的圖象經(jīng)過點(1,-1),則這個二次函數(shù)的關(guān)系式為,它與x軸的交點的個數(shù)為個。

10.若y與x2成正比例,當x=2時,y=4,那么當x=-3時,y的值為。11.拋物線yx23x4與y軸的交點坐標是,與x軸的交點坐標是。

12.有一長方形條幅,長為am,寬為bm,四周鑲上寬度相等的花邊,求剩余面積S(m2)與花邊寬度x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為,自變量x的取值范圍為。

13.拋物線yax2與直線y3xb只有一個公共點,則b=。14.已知拋物線yax2xc與x軸交點的橫坐標為1,則ac=。15.已知點A(1,4)和B(2,2),試寫出過A、B兩點的二次函數(shù)的關(guān)系式(任寫兩個)

、。三、認真答一答(第17題8分,其余各9分)

16.已知二次函數(shù)yx2bx1的圖象經(jīng)過點(3,2)。(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系式;

(2)畫出它的圖象,并指出圖象的頂點坐標;(3)當x>0時,求使y≥2的x的取值范圍。

17.根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的關(guān)系式:

(1)拋物線經(jīng)過點(0,3)、(1,0)、(3,0);

(2)拋物線頂點坐標是(-1,-2),且經(jīng)過點(1,10)。

18.已知拋物線yax24axt與x軸的一個交點為A(-1,0)。

(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;

(2)D是拋物線與y軸的交點,C是拋物線上的一點,且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式。

19.有一種螃蟹,從海上捕獲后不放養(yǎng),最多只能存活兩天,如果放養(yǎng)在塘內(nèi),可以延長存活時間,但每天也有一定數(shù)量的蟹死去,假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變,F(xiàn)有一經(jīng)銷商,按市場價收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi),此時市場價為每千克30元。據(jù)測算,此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元,但放養(yǎng)一天需各種費用400元,且平均每天還有10千克蟹死去,假定死蟹均于當天全部售出,售價是每千克20元。

(1)設(shè)x天后每千克活蟹的市場價為P元,寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售,并記1000千克蟹的銷售總額Q元,寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售,可獲得最大利潤(利潤=銷售總額-收購成本-費用)?最大利潤是多少?

相似形圖形的相似

教學目標

通過一些相似的實例,讓生觀察相似圖形的特點,感受形狀相同的意義,理解相似圖形的概念.能通過觀察識別出相似的圖形.能根據(jù)直覺在格點圖中畫出已知圖形的相似圖形.

在獲得知識的過程中培養(yǎng)學習的自信心.教學重點

引導學生通過觀察識別相似的圖形,培養(yǎng)學生的觀察分析及歸納能力.教學難點

理解相似圖形的概念.教學過程

41.2.一、觀察課本第42頁圖24.1.1、圖2,每組圖形中的兩圖之間有什么關(guān)系?

二、歸納:

每組圖形中的兩個圖形形狀相同,大小不同.具有相同形狀的圖形叫相似圖形.師可結(jié)合實例說明:

⑴相似圖形強調(diào)圖形形狀相同,與它們的位置、顏色、大小無關(guān).⑵相似圖形不僅僅指平面圖形,也包括立體圖形相似的情況.⑶我們可以這樣理解相似形:兩個圖形相似,其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的.⑷若兩個圖形形狀與大小都相同,這時是相似圖形的一種特例全等形.三、你還見過哪些相似的圖形?請舉出一些例子與同學們交流.

四、觀察課本第43頁圖24.1.3中的三組圖形,它們是否相似形?為什么?五、想一想:

放大鏡下的圖形與原來的圖形相似嗎?

放大鏡下的角與原來圖形中的角是什么關(guān)系?可讓學生動手實驗,然后討論得出結(jié)論.

六、觀察課本第43頁圖24.1.4中的三組圖形,它們是否相似形?為什么?讓學生通過比較圖24.1.3與圖24.1.4,體會相似圖形與不相似圖形的“形狀”特點.

七、課本第43頁“試一試”.

讓生各自獨立完成作圖,再展示評析.八、鞏固:

⒈課本第43頁練習.

⒉課本第44頁習題24.1.

對于第2題,學生的判斷是對相似圖形的一種直觀認識,最好讓學生充分交流彼此的看法.九、小結(jié):

你通過這節(jié)課的學習,有哪些收獲?

十、作業(yè):略.

相似三角形

教學目標:使學生掌握相似三角形的判定與性質(zhì)教學重點:相似三角形的判定與性質(zhì)教學過程:一知識要點:

1、相似形、成比例線段、黃金分割

相似形:形狀相同、大小不一定相同的圖形。特例:全等形。相似形的識別:對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等。

成比例線段(簡稱比例線段):對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線

ac段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等,即(或a:b=c:d),那

bd么,這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段。

黃金分割:將一條線段分割成大小兩條線段,若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比,則可得出這一比值等于0618。這種分割稱為黃金分割,點P叫做線段AB的黃金分割點,較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。例1:(1)放大鏡下的圖形和原來的圖形相似嗎?(2)哈哈鏡中的形象與你本人相似嗎?

(3)你能舉出生活中的一些相似形的例子嗎/例2:判斷下列各組長度的線段是否成比例:

(1)2厘米,3厘米,4厘米,1厘米

(2)15厘米,25厘米,45厘米,65厘米(3)11厘米,22厘米,33厘米,44厘米(4)1厘米,2厘米,2厘米,4厘米。

例3:某人下身長90厘米,上身長70厘米,要使整個人看上去成黃金分割,需穿多高的高跟鞋?

例4:等腰三角形都相似嗎?

矩形都相似嗎?正方形都相似嗎?2、相似形三角形的判斷:a兩角對應(yīng)相等

b兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等c三邊對應(yīng)成比例

3、相似形三角形的性質(zhì):

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