初三數(shù)學圓的知識點總結(jié)及經(jīng)典例題詳解

圓的基本性質(zhì)

1．半圓或直徑所對的圓周角是直角.2．任意一個三角形一定有一個外接圓.

3．在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓.4．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等.5．同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.6．同圓或等圓的半徑相等.7．過三個點一定可以作一個圓.8．長度相等的兩條弧是等弧.

9．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等.10．經(jīng)過圓心平分弦的直徑垂直于弦。

直線與圓的位置關(guān)系

1．直線與圓有唯一公共點時,叫做直線與圓相切.2．三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夾的弧所對的圓心角.

4．三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.5．垂直于半徑的直線必為圓的切線.

6．過半徑的外端點并且垂直于半徑的直線是圓的切線.7．垂直于半徑的直線是圓的切線.8．圓的切線垂直于過切點的半徑.

圓與圓的位置關(guān)系

1．兩個圓有且只有一個公共點時,叫做這兩個圓外切.2．相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

3．兩個圓有兩個公共點時,叫做這兩個圓相交.4．兩個圓內(nèi)切時,這兩個圓的公切線只有一條.5．相切兩圓的連心線必過切點.

正多邊形基本性質(zhì)

1．正六邊形的中心角為60°.2．矩形是正多邊形.

3．正多邊形都是軸對稱圖形.4．正多邊形都是中心對稱圖形.圓的基本性質(zhì)

1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,已知∠C=80°,則∠A的度數(shù)是.A.50°B.80°C.90°D.100°2．已知：如圖，⊙O中,圓周角∠BAD=50°,則圓周角∠BCD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.50°3．已知：如圖，⊙O中,圓心角∠BOD=100°,則圓周角∠BCD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.50°

4．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則下列結(jié)論中正確的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=90

5．半徑為5cm的圓中,有一條長為6cm的弦,則圓心到此弦的距離為.

AOABCDOBCDABCOA.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6．已知：如圖，圓周角∠BAD=50°,則圓心角∠BOD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.507．已知：如圖，⊙O中,弧AB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)是.A.100°B.130°C.200°D.50O8.已知：如圖，⊙O中,圓周角∠BCD=130°,則圓心角∠BOD的度數(shù)是.AA.100°B.130°C.80°D.50°

9.在⊙O中,弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則⊙O的半徑為cm.

A.3B.4C.5D.1010.已知：如圖，⊙O中,弧AB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)是.A.100°B.130°C.200°D.50°

12．在半徑為5cm的圓中,有一條弦長為6cm,則圓心到此弦的距離為.A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

DACBODCBCOAB點、直線和圓的位置關(guān)系

1．已知⊙O的半徑為10,如果一條直線和圓心O的距離為10,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系為.

A.相離B.相切C.相交D.相交或相離

2．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為7cm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.相離或相交

3．已知圓O的半徑為6.5cm,PO=6cm,那么點P和這個圓的位置關(guān)系是A.點在圓上B.點在圓內(nèi)C.點在圓外D.不能確定

4．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4.5cm,那么這條直線和這個圓的公共點的個數(shù)是.

A.0個B.1個C.2個D.不能確定

5．一個圓的周長為acm,面積為acm2，如果一條直線到圓心的距離為πcm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.不能確定

6．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為6cm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.不能確定

7.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4cm,那么這條直線和這個圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.相離或相交8.已知⊙O的半徑為7cm,PO=14cm,則PO的中點和這個圓的位置關(guān)系是.A.點在圓上B.點在圓內(nèi)C.點在圓外D.不能確定

圓與圓的位置關(guān)系

1．⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和4cm，若O1O2=10cm，則這兩圓的位置關(guān)系是.A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

2．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個圓的位置關(guān)系是.A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

3．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm,若O1O2=1cm,則這兩個圓的位置關(guān)系是.A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

4．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2==7cm,則這兩個圓的位置關(guān)系是.A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

5．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm，兩圓的一條外公切線長43，則兩圓的位置關(guān)系是.

A.外切B.內(nèi)切C.內(nèi)含D.相交

6．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和6cm,若O1O2=6cm,則這兩個圓的位置關(guān)系是.A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

公切線問題

1．如果兩圓外離，則公切線的條數(shù)為.

A.1條B.2條C.3條D.4條2．如果兩圓外切，它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條

3．如果兩圓相交，那么它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條4．如果兩圓內(nèi)切，它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條

5.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個圓的公切線有條.A.1條B.2條C.3條D.4條

6．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=7cm,則這兩個圓的公切線有條.A.1條B.2條C.3條D.4條

正多邊形和圓

1．如果⊙O的周長為10πcm，那么它的半徑為.A.5cmB.10cmC.10cmD.5πcm2．正三角形外接圓的半徑為2,那么它內(nèi)切圓的半徑為.A.2B.

3C.1D.3．已知,正方形的邊長為2,那么這個正方形內(nèi)切圓的半徑為.A.2B.1C.2D.34．扇形的面積為

2,半徑為2,那么這個扇形的圓心角為=.3A.30°B.60°C.90°D.120°

5．已知,正六邊形的半徑為R,那么這個正六邊形的邊長為.A.

1RB.RC.2RD.3R2C26．圓的周長為C,那么這個圓的面積S=.

C2C2A.CB.C.D.

2427．正三角形內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為.A.1:2B.1:3C.3:2D.1:28.圓的周長為C,那么這個圓的半徑R=.A.2CB.CC.

CCD.29.已知,正方形的邊長為2,那么這個正方形外接圓的半徑為.A.2B.4C.22D.23

10．已知,正三角形的半徑為3,那么這個正三角形的邊長為.A.3B.

3C.32D.

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初三數(shù)學上冊期末復習資料加經(jīng)典例題

第一章、圖形與證明（二）

（一）、知識框架

1.等腰三角形

等腰三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形的性質(zhì)和判定線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定角的平分線的性質(zhì)和判定

注意：若等邊三角形的邊長為a，則：其高為：，面積為：。

2.直角三角形全等的判定：HL平行四邊形的性質(zhì)和判定：4個判定定理3.平行四邊形

矩形的性質(zhì)和判定

菱形的性質(zhì)和判定：3個判定定理正方形的性質(zhì)和判定：2個判定定理

注注意：（1）中點四邊形

①順次連接任意四邊形各邊中點，所得的新四邊形是；②順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得的新四邊形是；③順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點，所得的新四邊形是；

④順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點，所得的新四邊形是。

1（2）菱形的面積公式：Sab（a,b是兩條對角線的長）

24.等腰梯形的性質(zhì)和判定

注意：（1）解決梯形問題的基本思路:通過分割和拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形進行解決。

即需要掌握常作的輔助線。

（2）梯形的面積公式：S5.中位線三角形的中位線梯形的中位線

1abhlh（l-中位線長）2

(二)知識詳解

2．1、等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）

2．2、等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三

線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。

判定定理：有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形�；蛘呷齻�角都相等的三角形是等邊三角形。

2．3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。2．4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線2．5、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（2）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）2.6、幾種特殊四邊形的性質(zhì)

矩形菱形正方形等腰梯形邊對邊平行且相等角對角相等對角線對角線互相平分對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角平行四邊形對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等對邊平行，四條邊對角相等都相等對邊平行，四條邊四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每一都相等條對角線平分一組對角兩條底邊平行，兩同一底上的兩個對角線相等腰相等角相等2.7.幾種特殊四邊形的判定方法

平行四邊形（1）兩組對邊分別平行（2）兩組對邊分別相等（3）一組對邊平行且相等（4）兩條對角線互相平分（5）兩組對角分別相等矩形菱形正方形等腰梯形（1）有三個角是直角（2）是平行四邊形，并且有一個角是直角（3）是平行四邊形，并且兩條對角線相等（1）四條邊都相等（2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等（3）是平行四邊形，并且兩條對角線互相垂直（1）是矩形，并且有一組鄰邊相等（2）是菱形，并且有一個角是直角（1）是梯形，并且兩條腰相等（2）是梯形，并且同一底上的兩個角相等（3）是梯形，并且對角線相等A2.8、三角形的中位線：

⑴連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．區(qū)別三角形的中位線與三角形的中線。⑵三角形中位線的性質(zhì)

三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．

BDECF2.9、梯形的中位線：

⑴連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

注意：中位線是兩腰中點的連線，而不是兩底中點的連線。⑵梯形中位線的性質(zhì)

梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

（三）典型例題

例題1、下列命題正確的個數(shù)是

①如果一個三角形有兩個內(nèi)角相等，則此三角形是軸對稱圖形；②等腰鈍角三角形是軸對稱圖形；③有一個角是30°角的直角三角形時軸對稱圖形；④有一個內(nèi)角是30°，一個內(nèi)角為120°的三角形是軸對稱圖形

A、1個B、2個C、3個D、4個答案：C

解析：①兩個內(nèi)角相等，根據(jù)“等角對等邊”知此三角形是等腰三角形，④根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，判斷出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是軸對稱圖形，故①②④正確，故選C。

例題2、下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是

A、兩邊之和大于第三邊B、有一個角平分線垂直于這個角的對邊C、有兩個銳角的和等于90°D、內(nèi)角和等于180°答案：B

解析：A、D是任何三角形都必須滿足的，C項直角三角形的兩個銳角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B項等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊，直角三角形不具有這個性質(zhì)，故選B。

例題3、等腰三角形的腰長為5，底邊長為8，則等腰三角形的面積為。答案：12

解析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高垂直平分底邊，所以由勾股定理得到底邊的高為54=9=3，所以等腰三角形的面積為

22183=12，故填12。2例題4、在□ABCD中，點E為AD的中點，連接BE，交AC于點F，則AF：CF＝（）

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5

【答案】A

例題5、在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；

（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE．，分別連結(jié)DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．

ABDE圖1ADADCBECFG圖2BFE132圖3CF【答案】

G(1)證明：如圖1．

∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．∴∠CEF=∠F．∴CE=CF(2)∠BDG=45°

(3)解：分別連結(jié)GB、GE、GC（如圖3）∵AB∥DC，∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE．

∴四邊形CEGF是平行四邊形．由(1)得CE=CF，

平行四邊形CEGF是菱形．

1∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°

2∴△ECG是等邊三角形∴EG=CG，①∠GEC=∠EGC=60°

∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．

在平行四邊形ABCD中，AB=DC．∴BE=DC．③由①②③得△BEG≌△DCG．

∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°180°－∠BGD∴∠BDG==60°．

2

例題6、如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）

A．7B．9C．10D．11

【答案】D

例題7、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點。試說明：EF與MN互相垂直平分。

（學生自己思考）

第四章、一元二次方程

（一）知識框架

一元二次方程一元二次方程的概念ax2bxc0(a0)直接配方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的解法bb24acx2a等量關(guān)系

（二）、知識詳解1、一元二次方程定義

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式

ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。2、一元二次方程的解法1、直接開平方法

直接開平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程。當b0時，xab，

xab；當b（1）方程ax2bxc0(a0)兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.（2）將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。

（3）所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方（4）配方，化成(xa)2b

（5）開方。當b0時，xab；當bbb24ac11415x2a212x11515x222（3）原方程變?yōu)椋簒2－3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3

例題3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0．……①(1)若x=-1是方程①的一個根，求m的值和方程①的另一根；(2)對于任意實數(shù)m，判斷方程①的根的情況，并說明理由．

解：（1）x=-1是方程①的一個根，所以1+m-2=0，

解得m=1．

方程為x2-x-2=0，解得，x1=-1，x2=2．

所以方程的另一根為x=2．（2）b24ac=m2+8，

因為對于任意實數(shù)m，m2≥0，所以m2+8>0，

所以對于任意的實數(shù)m，方程①有兩個不相等的實數(shù)根．

例題4、某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價，每件售價由原來的55元降到了35元．設(shè)平均每次降價的百分

率為x，則下列方程中正確的是（）

A．55(1+x)2=35B．35(1+x)2=55C．55(1－x)2=35D．35(1－x)2=55

解：C

例5：（201*南京）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經(jīng)營戶決定降價銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經(jīng)營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元?

解：設(shè)應將每千克小型西瓜的售價降低x元根據(jù)題意，得：(32x)(200x40)24201*.1解得：x1＝0.2，x2＝0.3答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2或0.3元。

第五章、中心對稱圖形二（圓的有關(guān)知識）

（一）、知識框架

與圓有

關(guān)的位

置關(guān)系

圓

正多邊

形與圓

圓的定義,弧、弦等概念垂徑定理及其推論圓的對稱性基本性質(zhì)弧、弦、弦心距、圓心角關(guān)系定理及其推論圓周角定理及其推論不共線的三點確定一個圓確定圓的條件三角形的外接圓點在圓上dr點和圓的位置關(guān)系點在圓外dr點在圓內(nèi)dr相交dr圓內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓直線與圓的位置關(guān)系相切dr判定切線長定理正多邊形的有關(guān)計算圓內(nèi)接正多邊形作法----等份圓圓與圓的位置關(guān)系相離性質(zhì)正多邊形的半徑、邊心距、相離dr正多邊形的內(nèi)角、中心角、外角、正多邊形的周長、三角形的內(nèi)切圓ldRr正三、六、十二邊形外離dRr正四、八邊形內(nèi)含外切dRr內(nèi)切dRrnR180S扇形nR21lR3602相切其中l(wèi)為弧長，R為半徑相切的兩圓的連心線過切點相交相交RrdRr相交的兩圓的連心線垂直平分相交弦10圓錐側(cè)面積全面積S側(cè)S展開的扇形SSS

扇形的弧長、面積（二）知識點詳解

一、圓的概念集合形式的概念：

1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關(guān)系

1、點在圓內(nèi)dr點C在圓內(nèi)；2、點在圓上dr點B在圓上；

BArdCdO3、點在圓外dr點A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點；2、直線與圓相切dr有一個交點；3、直線與圓相交dr有兩個交點；

rdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

11Rdr圖外離（圖1）無交點dRr；外切（圖2）有一個交點dRr；相交（圖3）有兩個交點RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個交點dRr；內(nèi)含（圖5）無交點dRr；

五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條��；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圓心角定理

COABCBAdR圖2rdR圖3圖4dRdrrRr圖5DOED圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，

只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。

12

BOAAODCEFBC即：∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等�。�

即：在⊙O中，∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴

BDCBOACAB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴CBAD180BD180DAEC九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

BCBOACOAD兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓以上三個定理及推論也稱二推一定理：

MANOAE點。心。

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理

B切線長定理：

OP13

A從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPBPO平分BPA十一、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十二、圓內(nèi)正多邊形的計算

（1）正三角形：在⊙O中△ABC是正三角形

BCAO1BO2OA有關(guān)計算在RtBOD中進行：OD:BD:OB1:3:2；（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在RtOAE中進行，

OE:AE:OA1:1:2：

OADBDC（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在RtOAB中進行，

AB:OB:OA1:3:2.

EO

AB十三、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：lnR；180AOSlnR21lR（2）扇形面積公式：S3602Bn：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

2、圓錐側(cè)面展開圖

（1）S表S側(cè)S底=Rrr2

1（2）圓錐的體積：Vr2h

3OB1R

ACrB

3、圓錐與圓柱的比較名稱圖形圓柱圓錐圖形的形成過程由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到，如矩形ADD’G繞直線由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到，如AB旋轉(zhuǎn)一周Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周兩個底面圓和一個側(cè)面一個底面圓和一個側(cè)面圖形的組成面積、體積的計算公式S側(cè)=2πrhS全=S側(cè)+2S底=2πrh+2πrV=πr2h2S側(cè)=πrS全=S側(cè)+S底=πr+πr2V=πr2h（三）、典型例題例題1．某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面圖；

(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑.思路點撥：本題考查圓的確定、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)有關(guān)等知識.解：(1)作法略.如圖所示.

于C，

(2)如圖所示，過O作OC⊥AB于D，交∵OC⊥AB，

∴

由題意可知，CD=4cm.

.

設(shè)半徑為xcm，則

在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴

.∴..

即這個圓形截面的半徑為10cm.

例題2、在O中，弦AD平行于弦BC，若AOC80，則DAB____度．

【考點要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關(guān)系．【思路點拔】∵∠B=∴∠B=40°∵AD∥BC

∴DAB∠B=40°【答案】填：40

1∠AOC，AOC802DOABC圖7-1

例題3、AB是的⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（）

A．1000B．1100C．1200D．1350

【考點要求】本題考查了圓中弧、弦、圓心（周）角之間的關(guān)系，以及直徑所對的弧是半圓等基本知識．【思路點拔】∵AB是的⊙O的直徑∴ACB度數(shù)是1800∵BC=CD=DA

=CD=DA∴BC100∵∠BCD=(18060)=1200

2【答案】選填C

例題4、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，已知ABBC圖7-2

1AD1，4求CD的長。

分析：連結(jié)BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延長AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直徑，得∠ABD=90°，可證得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的長。

解：延長AB、DC交于E點，連結(jié)BD∵ABBC1AD14∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB

∵⊙O的半徑為2，∴AD是⊙O的直徑∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD∴△EBC∽△EDA，∴BCCEADAE∴CEBCAEBC(ABBE)111

ADAD421722∴CDDECE41BC)，以BC為直徑作半圓O，過點2D作半圓的切線交AB于E，切點為F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

例題5、如圖，四邊形ABCD是矩形(AB

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根據(jù)正切的定義就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，F(xiàn)D=CD，結(jié)合矩形的性質(zhì)，可以得到ED和AE的關(guān)系，進一步可求出AE：AD。解：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于點B和點C，

∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，設(shè)BE=x，則AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，

在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，∴AD23x則tan∠ADEAE2x3AD23x3點撥：本題中，通過觀察圖形，兩條切線有公共點，根據(jù)切線長定理，得到相等線段。

例題6、如下圖，已知正三角形ABC的邊長為a，分別為A、B、C為圓心，

a以為半徑的圓相切于點O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1圍成的圖形面2積S。（圖中陰影部分）

分析：陰影部分面積等于三角形面積減去3個扇形面積。解：S△ABC32a2a2a，3S扇3×()4628∴S陰32a2232aa488此題可變式為如下圖所示，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都

為a，求圖中三個扇形(陰影部分)的面積之和。2

分析：因三個扇形的半徑相等，把三個扇形拼成一個扇形來求，因為∠A+∠B+∠C=180°，

因而三個扇形拼起來正好是一個半圓，故所求圖形面積為8a2，

原題可在上一題基礎(chǔ)上進一步變形：⊙A1、⊙A2、⊙A3⊙An相外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)n個圓心得到的n邊形A1A2A3An，求n個扇形的面積之和。解題思路同上。解：

(n2)2

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