高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程

一、概念理解：

1、傾斜角：①找α：直線向上方向、x軸正方向；②平行：α=0°；

③范圍：0°≤α＜180°。2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范圍：斜率k∈R。3、斜率與坐標(biāo)：ktany1y2y2y1x1x2x2x1①構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；②斜率k值于兩點先后順序無關(guān)；③注意下標(biāo)的位置對應(yīng)。

4、直線與直線的位置關(guān)系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直時：l1x軸，即k1不存在，則k20；斜率都存在時：k1k21。②平行：斜率都存在時：k1k2,b1b2；斜率都不存在時：兩直線都與x軸垂直。③重合：斜率都存在時：k1k2,b1b2；二、方程與公式：1、直線的五個方程：

①點斜式：yy0k(xx0)將已知點(x0,y0)與斜率k直接帶入即可；②斜截式：ykxb將已知截距(0,b)與斜率k直接帶入即可；

③兩點式：帶入即可；

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)將已知兩點(x1,y1),(x2,y2)直接

y2y1x2x1xy1將已知截距坐標(biāo)(a,0),(0,b)直接帶入即可；ab④截距式：

⑤一般式：AxByC0，其中A、B不同時為0用得比較多的是點斜式、斜截式與一般式。

2、求兩條直線的交點坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可

3、距離公式：

(x1x2)(y1y2)①兩點間距離：P1P2②點到直線距離：d22Ax0By0CAB22

③平行直線間距離：dC1C2AB22

4、中點、三分點坐標(biāo)公式：已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2y1y2,)222xx22y1y2,)靠近A的三分點坐標(biāo)②AB三分點(s1,t1),(s2,t2)：(133x2x2y12y2,)靠近B的三分點坐標(biāo)(133①AB中點(x0,y0)：(中點坐標(biāo)公式，在求對稱點、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。

三分點坐標(biāo)公式，用得較少，多見于大題難題。5.直線的對稱性問題

已知點關(guān)于已知直線的對稱:設(shè)這個點為P（x0，y0）,對稱后的點坐標(biāo)為P’（x，y），則pp’的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp’的中點坐標(biāo)在已知直線上。三、解題指導(dǎo)與易錯辨析：1、解析法（坐標(biāo)法）：

①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點的坐標(biāo)；②依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運算，并得出相關(guān)結(jié)果；③將代數(shù)運算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。

y2、動點P到兩個定點A、B的距離“最值問題”：①PAPB的最小值：找對稱點再連直線，如右圖所示：②PAPB的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；

22ox③PAPB的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對稱軸”。

3、直線必過點：①含有一個參數(shù)----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0=>必過點(-2,3)

②含有兩個參數(shù)----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=>必過點(-1/7,3/7)4、易錯辨析：

①討論斜率的存在性：

解題過程中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時，是否滿足題意；斜率存在時，斜率會有怎樣關(guān)系。②注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯認(rèn)為”截距就是距離，會丟解；（求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時，較為常見。）

③直線到兩定點距離相等，有兩種情況：直線與兩定點所在直線平行；直線過兩定點的中點。

圓的方程

1.定義：一個動點到一個定點以定長繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點稱為圓的圓心，定長為圓的半徑.2.圓的方程表示方法：

DE第一種：圓的一般方程xyDxEyF0其中圓心C,，

22D2E24F半徑r.

2當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個圓，

22當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個點當(dāng)D2E24F0時，方程無圖形.

DE,.22第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.其中點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓

第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：xarcos（為參數(shù)）

ybrsin注：圓的直徑方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)03.點和圓的位置關(guān)系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r24.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時，l與C相切；

②dr時，l與C相交；，③dr時，l與C相離.

5、圓的切線方程：

2

①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.(注:該點在圓上，則切線方程只有一條)

AaBbCAB22.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則聯(lián)立求出k切線方程.（注：RR21過圓外的點引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個解，那么另外一條切線必定是垂直于

X軸的直線。）6.圓系方程：

過兩圓的交點的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ

22

（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0

過兩圓的交點的直線方程：x+y+D1x+E1y+F1-x+y+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方

程就是直線方程）

7.與圓有關(guān)的計算：

22

弦長的計算：AB=2*√R-d其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離

2

AB=（√1+k）*X1-X2其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個根

過圓內(nèi)的一點的最短弦長是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長弦是直徑8.圓的一些最值問題

①圓上的點到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑②圓上的點到直線的最長距離=圓心到直線的距離加上半徑

③假設(shè)P（x，y）是在某個圓上的動點，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點與

該點（a，b）的斜率問題，即先求過該定點的切線，得到的斜率便是該分式的最值。

④假設(shè)P（x，y）是在某個圓上的動點，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，

在圓上找到點(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。

9.圓的對稱問題

①已知圓關(guān)于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。②若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標(biāo)

2222

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 第七章直線和圓的方程

高中數(shù)學(xué)第七章-直線和圓的方程

考試內(nèi)容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式．直線方程的一般式．兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點到直線的距離．用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡單的線性規(guī)劃問題．曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程．考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法．

（6）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．

07.直線和圓的方程知識要點

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與

x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是

0180(0).

注：①當(dāng)90或x2x1時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.

2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a0,b0)時，直線方程是：注：若

y23yxa23yb1.

x2是一直線的方程，則這條直線的方程是

y23x2，但若

x2(x0)則不是這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程ykxb，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)b為定植，k變化時，它們表示過定點（0，b）的直線束.②當(dāng)k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.

3.⑴兩條直線平行：

l1∥l2k1k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.

（一般的結(jié)論是：對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

4.直線的交角：

⑴直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是(0,)，當(dāng)90時tank2k11k1k2.

⑵兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個角中最小的正角，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是0,2，當(dāng)90，則有

tank2k11k1k2.

5.過兩直線l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(為參數(shù)，A2xB2yC20不包括在內(nèi)）

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設(shè)點P(x0,y0)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|22xy2.定比分點坐標(biāo)分式。若點P(x,y)分有向線段

P1(x1,y1),P2(x2,y2).則xx1x21,yy1y21P1P2所成的比為即P1PPP2,其中

特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan4.過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：ky2y1x2x1.

(x1x2)

當(dāng)x1x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90，沒有斜率王新敞

⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它們之間的距離為d，則有dC1C222.

AB注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(mR,C≠m).2.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)3.過定點（x1,y1）的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)

4.過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λR）注：該直線系不含l2.

7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

⑴關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.

注：①曲線、直線關(guān)于一直線（yxb）對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2,x2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是f(ax,2by)=0.二、圓的方程.

1.⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的與一個二元方程f(x,y)0的實數(shù)建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

⑵曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)0的一種關(guān)系，曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)0的解；反過來，滿足方程f(x,y)0的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.

注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(xa)2(yb)2b2②與y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2a2

[rb,圓心(a,b)或(a,b)]

[ra,圓心(a,b)或(a,b)]

③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2a23.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

[ra,圓心(a,a)]ED當(dāng)DE4F0時，方程表示一個圓，其中圓心C,2222，半徑rDE4F222.

當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個點D2,E.2當(dāng)D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.注：①圓的參數(shù)方程：xarcosybrsin（為參數(shù)）.

B0②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：

DE4AF0.

22且

AC0且

③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點和圓的位置關(guān)系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①drAaBbCAB22.

時，l與C相切；

相減為公切線方程.

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相切，則22xyDxEyF0222②dr時，l與C相交；22C1:xyD1xE1yF10附：公共弦方程：設(shè)

22C2:xyD2xE2yF20

有兩個交點，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.

③dr時，l與C相離.

相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相離，則22xyD2xE2yF20222(xa)(yb)r由代數(shù)特征判斷：方程組AxBxC0用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方

程，其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

注：若兩圓為同心圓則x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相減，不表示直線.

6.圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為

xyDxEyF0

22k的切線方程是ykx1k2r過圓

上一點P(x0,y0)的切線方程為：x0xy0yDxx02Eyy02F0.

①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則R2R1A，聯(lián)立求出k切線方程.BCD(a,b)7.求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知

O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD為圓為方程為

2(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

R(xAa)(yAb)422…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1）曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。

2.求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設(shè)點，列式表標(biāo),簡化檢驗;2）參數(shù)法;3）定義法，4）待定系數(shù)法.

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