第一篇：《怎樣解題》讀后感

波利亞（1887-1985）是美國著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。因長期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，他對數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律有著深入的研究。這本開拓思維的《怎樣解題》就是其研究成果的總結(jié)，并因此而暢銷全球。

作者認(rèn)為一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發(fā)現(xiàn)。這句話頗有現(xiàn)實意義，人如果缺乏善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，就無法摒棄無關(guān)緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關(guān)鍵，因此也就無從下筆解答題目了。

作者也認(rèn)為當(dāng)你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感。

作者建議我們不要只做一些簡單的基礎(chǔ)題，它只會扼殺我們對數(shù)學(xué)的熱情；也別一味地做變態(tài)級的難題，那樣會打擊我們的自信心。

雖然在我看來，此書的實踐性不及一般的教輔書，但其對數(shù)學(xué)領(lǐng)域中怎樣進行正確、快速、有效地解題，有著一針見血的指導(dǎo)作用。作者在書中運用了大量活潑、生動、通俗的散文寫法，闡述了一個又一個數(shù)學(xué)問題。作者在此書中還提出了一個史無前例的觀點：學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。

讀完全書，我最深的感受是我也愛上了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)不僅是通向工程、技術(shù)的必由之路，它還充滿著樂趣。

第二篇：怎樣解題讀后感

《怎樣解題》波利亞

————讀后感

著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是教會年輕人思考，他把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會學(xué)生思考的一種手段和途徑．他專門研究解題的思維過程，分解解題的思維過程得到一張“怎樣解題”表。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一定量的解題訓(xùn)練是必不可少的，但僅依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”來進行解題訓(xùn)練是萬萬不可的，“題海戰(zhàn)術(shù)”在能力培養(yǎng)方面主要表現(xiàn)為提高模仿力與復(fù)制力，而在大學(xué)期間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更注重學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的考查，因此我們與其窮于應(yīng)付繁瑣過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復(fù)雜的題目去深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面，對與此相關(guān)的一系列問題都能有一個系統(tǒng)的認(rèn)識和把握．波利亞在他的名著《怎樣解題》中很好的闡述了這一思想．《怎樣解題》一書中對數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過“《怎樣解題》表”來實現(xiàn)的，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞在《怎樣解題》中所闡述的，即波利亞“怎樣解題”表。第一步：必須弄清問題。弄清問題即審題，是解題的基礎(chǔ)。因為只有正確理解了題意，才能正確地樹立解題的思維方法，找出解題途徑。在這一步，解題者必須了解問題的文字?jǐn)⑹觯�然后通過觀察、分析、畫圖等把文字、圖形、符號等發(fā)出的信息正確的接收下來。把條件的

各個部分分開，充分挖掘題設(shè)的內(nèi)涵，判清題型，審清問題。第二步：找出已知與未知的聯(lián)系，如果找不出直接的聯(lián)系．則要考慮輔助問題，最終得出一個求解的計劃。擬訂計劃即探索解題的途徑，這是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。當(dāng)我們審清了問題之后， 熟悉的問題有一定的解題套路，不需要太多的思考；而對于不熟悉的題目，我們千萬不要急于動筆演算，而是要在頭腦中從整體上設(shè)計好一個解題思路，稍進一步的問題，需要有一點變化。一個正確的解題思路的形成過程是復(fù)雜的。它涉及解題者的知識因素、解題經(jīng)驗和解題能力。不過，從思維角度看，都是按照由果索因或由因?qū)Ч�而進行的。第三步：實現(xiàn)想法和計劃。解題的核心即實現(xiàn)計劃，就是根據(jù)所探索的思路付諸行動。在解題過程中，這一步是相對容易的。如果計劃擬訂完善，實現(xiàn)計劃往往是做一些機械性的計算。但計劃往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出現(xiàn)一些反復(fù)。另外，計算或操作過程中也會存在某些困難，甚至?xí)�遇到難以逾越的困難．這時原來的計劃就必須推翻重來，此時所需要的主要就是解題者的耐心。解題方案給出了一個解題的總體框架。我們必須耐心地對每一步進行嚴(yán)格推導(dǎo)和計算，確保每一步的細(xì)節(jié)都是正確的，必須考慮問題的所有條件，簡明規(guī)范地把解決問題的全過程完整地表達出來；第四步：驗算所得到的解。這一步相當(dāng)于平時解題所說的“驗算”，它不只是簡單地核對答案，判斷解題是否正確，進而找出錯誤并予以糾正，而是要用多種方法，從不同的角度去獲得正確的結(jié)果，重要的是對解題結(jié)果或方法進行遷移思考，總結(jié)解題經(jīng)驗，擴大解題成果。正如波利亞所說：“這是領(lǐng)會方法的最佳時

機”，“當(dāng)解題者完成了他的任務(wù)。而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探索他剛才克服困難的實質(zhì)。

波利亞的“怎樣解題”表，其特點是：明顯的普遍性與常識性；一連串的發(fā)問，給出思路與建議；提出的問題驅(qū)動解題者的思維按一定方向搜索、加工、分析、應(yīng)用信息。改為現(xiàn)行的解題四程序：審題；思素解法；實施解題計劃；檢驗、回顧、引拓。

“題�！笔强陀^存在，我們應(yīng)研究對付“題�！钡膽�(zhàn)術(shù)．波利亞的“表”雖不如阿里巴巴的金鑰匙，但卻切實可行，給出了探索解題途徑的可操作機制，只要按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中。必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。

波利亞的“怎樣解題表”中的四個階段對問題解決具有開創(chuàng)性的意義。但是，與完整的元認(rèn)知理論相比，也還存在著一些局限性。解題表作為一個解題的程序。忽視了對個體差異性的認(rèn)識。缺乏對認(rèn)知個體的認(rèn)識。比如。解題表中沒有關(guān)于學(xué)習(xí)者本人特點方面的知識，如學(xué)習(xí)的能力、動機、目的、愛好以及影響學(xué)習(xí)的其他各種個人特征與狀態(tài)．關(guān)于記憶、理解等不同水平對不同個體解題活動影響涉及也較少�！霸鯓咏忸}表”中的元認(rèn)知觀念相對于完整的元認(rèn)知理論還是比較分散的．還不夠系統(tǒng)化，是樸素的元認(rèn)知，而后提出的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)正是在此基礎(chǔ)上進一步完善形成的理論系統(tǒng)。

第三篇：《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀后感

一直很喜歡讀書，特別是文學(xué)方面的書籍，但是這學(xué)期所看的書，卻讓我的書史有了大改觀。這學(xué)期所涉及要看的書，都是和教育有關(guān)的，雖然一直有做家教，之前也參加過支教活動，但是看完教育類的書籍后，卻有點顛覆教育在我心里的印象。

《怎樣解題》這本書初次接觸，感覺很陌生，很難看的進去，相對于《小學(xué)數(shù)學(xué)名師同課異構(gòu)》案例書來說，更加感到差異很大。

第一次看這本理論書，給我最大的不同是，似乎老師每次給學(xué)生講解一道題目，都要從這道題先引申道另外一道題或者先問學(xué)生是否曾經(jīng)做過類似的題目，然后再花費大量的時間去讓學(xué)生解決類似的題目或者曾經(jīng)做過的題目，最后再慢慢引到最開始的問題上，利用前面的題目的方法或定理再來解決最初的問題。回想起以前上學(xué)的情景，每當(dāng)遇到問題的時候，問老師如何解題，老師都會先把題目理順一遍，然后再告訴我們思路，最后再一邊提問我們相關(guān)的定理或者概念，一邊把題目講解完，在這之后，如果題目比較典型，就在錯題本或者在筆記本上把這道題記錄下來，以后再次遇到類似的題目，則自己再回想之前的題目，想想是否能用相同的方法解題，或者直接翻開筆記本，再自己慢慢順著思路把問題解決，大概遇到兩次或者兩次以上的類似題目后，都能夠自己把問題解決，不需要翻開筆記或者問同學(xué)或老師。兩者不一樣的幫助學(xué)生的解題方法，感覺上都各有各的好處，但是不知道為什么感覺波利亞的教師幫助學(xué)生解題的方法感覺有點不太實際。

如果說老師要幫助每個學(xué)生解決他們不一樣的難題，都需要用到先想類似的題目或者先回憶曾經(jīng)做過類似的題目，再來慢慢引導(dǎo)學(xué)生把題目解決，這需要花費大量的時間，而每個老師的空閑時間有限，學(xué)生的問問題時間也有限，但是學(xué)生的難題卻無限，這樣下來，老師根本不能解決每個學(xué)生的問題，不能夠完全幫助自己的學(xué)生，感覺有點不實際。但是如果老師把這種方法用在課堂上講解典型的難題的時候，我覺得這卻是比較好的一種方法，一方面可以鞏固學(xué)生在之前所學(xué)的知識，另一方面，也可以擴展學(xué)生的題海，讓學(xué)生能夠更加牢固的學(xué)會解題的方法和做類似題目的思路，同時，也可以讓成績比較差的學(xué)生能夠掌握該題的做題技巧。

當(dāng)然，除了在感覺解題方式有點不太一樣之外，在這本比較難懂的理論書之中，還是學(xué)會了一些解題的相關(guān)技巧和步驟。第一步：必須弄清問題，弄清問題即審題，是解題的基礎(chǔ)；第二步：找出已知與未知的聯(lián)系，如果找不出直接的聯(lián)系．則要考慮輔助問題，最終得出一個求解的計劃；第三步：實現(xiàn)想法和計劃。解題的核心即實現(xiàn)計劃，就是根據(jù)所探索的思路付諸行動；第四步：驗算所得到的解。前三步在解題或者教學(xué)的過程中，一直都按照這個步驟進行，但是到了第四步驟時，基本上都會忘記或者根本沒有想過要檢驗，除非是在考試的時候或者在有答案的情況下才會驗算自己的答案。如果在教學(xué)的時候執(zhí)行第四步，對學(xué)生提出：你能檢驗這個結(jié)果嗎？你能檢驗這個結(jié)論嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)這個結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什么題目中利用這個結(jié)果或者這種方法嗎等，則能夠讓學(xué)生再次及時回顧剛才所學(xué)的知識和技巧，同時，也能讓學(xué)生養(yǎng)成以這種方式回顧和仔細(xì)檢查的習(xí)慣，會的一些條理分明、隨時可以使用的知識，并且將提高學(xué)生的解題能力。

當(dāng)然，想要做到能利用波利亞的解題方法，也并不是按照這個方法就能做到百分百成功，還需要積累一定的題目在自己的腦海里，以便自己隨時能調(diào)用，但并不是題海戰(zhàn)術(shù)就能解決這一切，而是需要每當(dāng)自己做題的時候，能夠同時充分利用波利亞的解題步驟，這樣才能更加增大自己題量。不過，在利用波利亞的解題的步驟時，同時也需要注意到它的局限性，就是不能根據(jù)個人的特點來解題，沒有做到因材施教，忽視了對個體差異性的認(rèn)識，缺乏對認(rèn)知個體的認(rèn)識。而且在波利亞的解題步驟中，每個人是用都一樣的方式來解題，忽略了學(xué)生在解題方面的興趣、目的等，所以我們在解題的時候，也不能生搬硬套，需要靈活應(yīng)用，這

樣才能根據(jù)自身條件地完整地解決了一道題。

當(dāng)然，這只是我第一次看這本書所得的初步感想，或許再次閱讀這本書的時候，會有更深刻的理解。

第四篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個人，為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，他利用在大學(xué)任教的機會，通過與學(xué)生的交流和對學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時間，終于完成一篇著作，這本書指導(dǎo)了人們不僅僅是在數(shù)學(xué)中，乃至在任何其他領(lǐng)域中怎樣進行正確思維，引導(dǎo)了一代又一代讀者在學(xué)習(xí)中走上正確的道路。這個人就是著名數(shù)學(xué)家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。上中學(xué)時，他就是一個很有上進心的學(xué)生，但每當(dāng)遇較難的數(shù)學(xué)題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結(jié)論好像還行，他看起來是個事實，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個事實的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”為了解決這個困惑，波利亞經(jīng)過多年教學(xué)經(jīng)驗的累計以及與一批數(shù)學(xué)大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經(jīng)出版，暢銷全球。 在這本書中，波利亞表達了這樣的觀點：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗總結(jié)�！霸鯓咏忸}”表將解題過程分成了四個步驟，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧�！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發(fā)現(xiàn)。”這句話頗有現(xiàn)實意義，人如果缺乏善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，就無法摒棄無關(guān)緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關(guān)鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認(rèn)為當(dāng)你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感，

從而更加激發(fā)你學(xué)習(xí)的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。 書中還講到了教師對于學(xué)生的解題應(yīng)該進行怎樣的指導(dǎo)，書的第一章節(jié)，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節(jié)中，波利亞系統(tǒng)地指導(dǎo)了教師如何讓幫助學(xué)生，他說：“教師最重要的任務(wù)就是幫助學(xué)生。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨立工作的經(jīng)驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那么學(xué)生卻又無事可干，教師對學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一個合理的工作量。如果學(xué)生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨立工作。為了做到這一點，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。不過，對學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個學(xué)生自己可能會產(chǎn)生的問題，或者指出一個學(xué)生自己可能會想出來的步驟�！倍�在指導(dǎo)學(xué)生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數(shù)是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學(xué)生的注意力集中到未知數(shù)上。有時，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來，在與學(xué)生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價值的�！霸鯓咏忸}”表就包含了這類經(jīng)過仔細(xì)挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應(yīng)采取的行動之后，他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，當(dāng)然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候，我們能聯(lián)想到與之相關(guān)卻為我們所熟悉的內(nèi)容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學(xué)生在實踐中，教師試圖提高學(xué)生解題能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識更為重要的東西。將此聯(lián)系到實際中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，在如今應(yīng)試教育的大環(huán)境下，現(xiàn)在教師的教學(xué)過程、學(xué)生的思維都比較的定式化，特別像是數(shù)學(xué)物理等理科，教師運用題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學(xué)生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當(dāng)做一種機械的條件反射的運動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。 作為一名數(shù)學(xué)師范專業(yè)的學(xué)生，我想我從這本書中學(xué)到了太多，不僅僅解決了自身的學(xué)習(xí)問題，激發(fā)了自己對于解題的興趣、學(xué)會了如何運用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學(xué)會了，作為一名教師應(yīng)該如何指導(dǎo)學(xué)生解決問題，如何教育學(xué)生，讀完這本書，(推薦打開范文網(wǎng)m.hmlawpc.com)我獲益匪淺。

第五篇：怎樣解題

《怎樣解題》是由著名美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞所寫得一部經(jīng)久不衰的暢銷書，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導(dǎo)下，學(xué)會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

目錄

內(nèi)容簡介

作者簡介

目錄

怎樣解題表

編輯本段內(nèi)容簡介這本經(jīng)久不衰的暢銷書出自一位著名數(shù)學(xué)家的手筆，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導(dǎo)下，學(xué)會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

編輯本段作者簡介波利亞 ( 男) （george polya，1887—1985），著名美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。生于匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學(xué)博士學(xué)位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任數(shù)學(xué)助理教授、副教授和教授，1928年后任數(shù)學(xué)系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學(xué)和斯坦福大學(xué)的教授。1976年當(dāng)選美國國家科學(xué)院院士。還是匈牙利科學(xué)院、法蘭西科學(xué)院、比利時布魯塞爾國際哲學(xué)科學(xué)院和美國藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院的院士。其數(shù)學(xué)研究涉及復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域。1937年提出的波利亞計數(shù)定理是組合數(shù)學(xué)的重要工具。長期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，對數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

編輯本段目錄第一部分 在教室里

目的

1.幫助學(xué)生

2.問題，建議，思維活動

3.普遍性

4.常識

5.教師和學(xué)生，模仿和實踐

主要部分，主要問題

6.四個階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執(zhí)行方案

12.例子

編輯本段怎樣解題表“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書

的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。同學(xué)們?nèi)绻�能在平時的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數(shù)是什么？

已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知數(shù)，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當(dāng)?shù)姆�號�?/p>

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。

如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。

這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現(xiàn)計劃

實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗總結(jié)。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計

劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧�！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”�；剡^頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個過程。

我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。

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生活中，碰到一個的問題的時候，我們?nèi)绾谓鉀Q？首先我們明確要解決的問題，然后搜集相關(guān)情報或者已有的資源，考慮問題關(guān)鍵因素之間的內(nèi)在規(guī)律，接著嘗試一些可行的方案，最后選擇其中最優(yōu)的辦法實踐，最后問題得以解決。對于數(shù)學(xué)解題來說：首先我們明確未知量，然后明確已知量，確定條件，接著嘗試一些可行的方案，最終得到可以獲得未知量的方案，解出題目。

然而這里有一個模糊的地方，解決問題最關(guān)鍵的一步——想出可行的方案，是如何辦到的？當(dāng)我們對未知、已知、條件都已經(jīng)了如指掌之后還是想不出任何的方案，這個時候解題面臨本質(zhì)的智力困難的時候，是如何從無到有思考出可能的方案供我們嘗試的？

這個問題更有畫面感的描述是：數(shù)學(xué)課，老師出了一道幾何題，先讓大家試解，無人能解。然后老師開始講題，前面的步驟1、2、3大家都會也都想到了，這時老師添加了一條輔助線，

引出步驟4，問題得解，大家豁然開朗。然而，解題的關(guān)鍵步驟3到4是如何思考到的呢，老師為何就想到做這一條輔助線呢？

《怎樣解題》就是在回答以上問題。

書中有一個例子可以形象的問答這個問題：

一個原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經(jīng)過昨天一夜，已經(jīng)漲了上來；因此他面臨一個問題：如何越過這條小溪。渡溪成了這道題目的研究對象，是原始題目中的x。這個人可能會回憶起，他以前曾經(jīng)踏著一顆倒下的樹度過了另外一條溪流。于是他四處尋找一顆合適的樹，就構(gòu)成了他新的未知量y。他找不到合適的樹，但是沿著溪流有大量的樹木在岸上，他希望其中有一個樹會倒下來。于是他開始想如何使一棵樹橫倒在溪流上？這樣又產(chǎn)生了一個新的未知量z。這一連串的念頭就是分析。如果這個人成功的完成了分析，他可能就成了橋和斧子的發(fā)明者。

而這個分析問題的過程，正包含了普遍的解決問題中本質(zhì)智力困難的方法。首先思考我們是否面臨過同樣或者類似的問題，即使沒有，我們可以嘗試想更簡單的相關(guān)問題，可以是更普遍化的問題、更特殊化的問題，甚至只是問題中的一小部分問題�；蛘吒纱鄟碜兓�我們遇到的問題的已知情況，觀察未知情況如何跟隨變化；或者變化未知量；或者同時變化已知未知量，來觀察問題如何變化。正是這樣一個分解和重構(gòu)問題的過程，使得我們逐漸逾越了問題的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我們驗證疑似可行的方案，如果其中確有可行的，問題得解。如果沒有，我們將重復(fù)以上的過程。

以上是我理解的《怎樣解題》的主旨。

當(dāng)然原著對分解和重構(gòu)問題的過程做了更為細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊吞接�，并配以精妙的�?shù)學(xué)題示例來演示各種細(xì)節(jié)。作為一本數(shù)學(xué)方法著作，更難能可貴的是，波利亞頗為人性化的闡釋了解題過程中的非智力因素——情感的作用。在書中的第三部分—探索法小詞典中，“決心、希望、成功”“潛意識活動”“進展”三個詞條都嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的闡述了情感是如何作用于我們解題過程的。

“決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產(chǎn)生波動。如果我們認(rèn)為答案即將來臨，就很容易繼續(xù)干下去，當(dāng)我們看不到有什么克服困難的出路時，要堅持不懈就會很難�！薄坝谐�常天賦的人主要的優(yōu)勢也許在于一種常超的心理感受力。由于具有極度敏感的感受力，他能感覺到進展的細(xì)微標(biāo)志，或者注意到這些標(biāo)志的缺乏�！边@些非智力因素對于我們解決生活和工作中的問題尤其重要，我們需要敏感的覺察來自情感腦的反饋，并加以利用，來幫助解決問題。舉例來說，生活中碰到一個很復(fù)雜問題，在長期解決問題的過程中，有一段時間可能解決問題時沒有明顯的反饋給我們標(biāo)志，最后我們沮喪的放棄了解決問題。然而很有可能的是，這個過程真是解決問題的關(guān)鍵期，實際上也是有標(biāo)志出現(xiàn)的，只是當(dāng)時的我們還不理解這些標(biāo)志。由此可見非智力因素之于解決問題的重要性，我們需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亞還舉出一個心理學(xué)試驗：用一個缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動物（狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒），在圍欄的另一側(cè)放上一個被試很想要的物體（對動物來說是食物，對人類嬰兒來說是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發(fā)現(xiàn)，狗在扒著圍欄吠了幾聲發(fā)現(xiàn)無法通過的時候，不久便學(xué)會了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，人類嬰兒很快就學(xué)會了繞過障礙，而黑猩猩也學(xué)得很快（黑猩猩是和人類最近的靈長類親屬）。

“母雞的行為就像那些面臨問題的時候渾渾噩噩的人，試了一次又一次，最后靠一些運氣碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我們甚至也不應(yīng)責(zé)怪母雞的笨拙。要轉(zhuǎn)過身從目標(biāo)跑開，不一直盯著目標(biāo)前進，不沿著直接的道路到達目標(biāo)，確實有一定困難。母雞的困難和我們的困難具有明顯的類似性�！弊詈笠痪湓捗菜朴行┱芾�，是全書嚴(yán)謹(jǐn)行文之中唯一有些文藝的一句。`

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